Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK
2 X
Fig. 7/7.
Fig. 7/8.
Fig. 7/7. Ytan mellan x=axeln och kurvan
y — xn ln x
Fig. 7/8. Ytan mellan parablerna y = x2
och y=\x
Ex.: Beräkna ytan mellan parablerna y =
= x2 och y = VT (Fig. 7/8.)
Skärningspunkten är (1,1)
F=f\xdx-fx*dx=\-4=4
Ex.: Beräkna ytan av ellipsen
= a eos t
b sin t
Ekvationen i parameterform är
.271 . 2ti
F=j- f (xy’—yx’)dt=-y f aè(cos2f+
1 o zo
+sin 2t)dt=nab
Ex.: Beräkna ytan av kurvan r=cos n<p.
Alla blad genomlöpas i samma riktning
och ha alltså samma tecken. (Fig. 7/9.)
j ^ 2nn
F=— yeos-nfdy =— J~eos2 udu=
1 TT
— • n™ =—
2 n 2
Observera, att då n är udda, genomlöpes
ytan 2 gånger, varför dubbla ytan erhålles.
n=l n=2 n=3
Fig. 7/9. Kurvan r=cos n<p
n=4
Fig. 7/10.
Fig. 7/11.
Fig. 7/10. Rotationskropp (rotation om=
kring y*axeln).
Fig. 7/11. Rotationsparaboliden alstrad av
parabeln y = x2
Yta o. volym av rotationskroppar (fig. 7/10).
Ytan av en rotationskropp beräknas på
följande sätt: Antag, att kurvan y = f(x)
roterar omkring y?axeln. Då bågelement
ds på avståndet x från y*axeln roterar,
uppstår en yta av storleken dY = ds’2n x.
Hela rotationsytan blir alltså:
Y-fdY=l7ifxds^lnfxVT+y2 dx
Volymen beräknas sålunda: Om man
skär kroppen med två plan vinkelräta mot
y?axeln på höjden y resp. y + dy, är voly*
men mellan dem: nx2 • dy
V— iifx-dy
(x uttryckes som funktion av y.)
Ex.: Volymen av rotationsparaboloiden
alstrad av parabeln y = x2, som roterar
omkring y*axeln (fig. 7/11).
Y Y
[-V—7iJ~x2dy—7iJ~ydy—-0-]
{+V—7iJ~x2dy—7iJ~ydy—-
0+} o
Beräkningen av en volym i allmänhet kan
också ske genom reduktion av trippelinte*
grälen:
V=fffdxdydz
v
Beträffande ytor, volymer etc. se också
s. 162. Guldins regler, se s. 168.
tiY2
T-
108
INGENJÖRSHANDBOKEN I
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
