Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Matematik och geometri — tolv vore bättre än tio - Geometri - Euklides’ »parallellpostulat» - Funktionsteori
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
228O MATEMATIK och GEOMETRI ___________________________
kunskap. - Någon systematisk och allmänt
tillgänglig geometrisk lära uppkom dock inte förrän hos
grekerna, med Pytagoras (omkr. 500 f. Kr.) och
Euklides (omkr. 300 f. Kr.) som mest kända
representanter. Pytagoras torde ha varit den förste som klart
insett, att matematik och geometri måste befrias
från den mystik (med »heliga tal» osv.) vari dessa
vetenskaper dittills varit inhöljda. Hans största
insats kan anses ha varit införandet av det
matematiska beviset, ersättande den samling »tumregler»
man dittills mestadels rört sig med. Varje bevis
måste grundas på antaganden, vilka i de elementära
fallen får karaktär av axiom. Euklides var den förste
som på denna grundval systematiserade bl. a.
geometrin, vilken han berikade med många nya satser.
Av hans »Elementa» i 13 böcker behandlar 1-4 samt
6 plangeometri, 5 och 7 proportioner, 8-10 aritmetik
och 11—13 rymdgeometri. Euklides’ plangeometri är
av sådan fulländning, att den ännu efter mer än
2000 år tjänar som grundval för all elementär
geometriundervisning.
Euklides’ »parallellpostulat»
Dock anser man numera, att Euklides gått en
smula för långt, när han försöker definiera
elementära begrepp, t. ex. en punkt som »något vars del är
intet» samt rät linje med »det kortaste avståndet
mellan två punkter». Dylika definitioner står sig inte
för en kritisk granskning. Likaledes har
matematikerna på teoretiska grunder kunnat ifrågasätta
riktigheten av Euklides’ s. k. femte postulat, känt som
»parallellpostulatet». Det utsäger, att man genom en
punkt kan draga en och endast en linje parallell
med en given linje. Avstår man från detta postulat,
som visserligen förefaller sant med hänsyn till våra
jordiska erfarenheter, är det möjligt att bygga upp
ett flertal inom sig motsägelselösa, geometriska, s. k.
icke-euklidiska system, bland vilka de av ryssen N.
Lobatjevskij och tysken G. F. Riemann uppställda
har haft de mest omfattande matematiska
konsekvenserna. I Lobatjevskijs »hyperboliska» geometri
kan man genom en given punkt draga ett begränsat
knippe linjer parallellt med en given linje; (två
linjer sägs vara parallella, om de inte råkas hur långt
de än utdrages); i Riemanns »elliptiska» geometri
kan icke någon linje dragas parallellt med en annan.
I förra fallet blir vinkelsumman i en triangel
mindre, i senare fallet större än 1800.
Riemanns abstraktioner har först i vårt
århundrade funnit fysikaliska tolkningar, nämligen i Einsteins
relativitetsteori. Man kan tryggt påstå, att denna
Einsteins tankebyggnad inte skulle ha varit möjlig
utan tillgång till de grundläggande begrepp som
Riemann givit upphov till.
Nära besläktad med geometrin är som förut
antytts den analytiska geometrin, dvs. kombinationen
analys-algebra-geometri, som erhöll sin första
utformning av Cartesius (se d. o.). Det var han som
uppfann metoden att grafiskt återgiva ekvationer i
form av kurvor, nämligen medelst koordinater, och
som sålunda först bringade dem i åskådlig form,
liksom deras rötter, extremvärden osv. Om Cartesius’
gärning, på vilken all nutida grafisk representation
kan återföras, har det sagts: han reviderade inte
geometrin, han skapade den!
Funktionsteori
Funktionsteorin torde vara det område inom
matematiken där denna avsatt sina vackraste resultat;
särskilt gäller detta de analytiska funktionernas teori.
Denna utveckling sammanhänger intimt med
integralkalkylens; det visade sig nämligen snart, att de
trigonometriska, algebraiska och exponentiella
funktioner som vi känner från varje elementär lärobok i
matematik inte på långt när förslår som
byggnads-stenar i lösningen av även mycket enkelt
sammansatta integraluttryck. För ändamålet måste helt nya
och okända funktioner uppfinnas eller upptäckas.
Det förefaller som om funktionsteorin skulle utgöra
ett forskningsområde utan gränser för framtida
matematiker att bearbeta.
Inom både den tillämpade och abstrakta
matematiken spelar de s. k. komplexa talen en stor roll. Ett
komplext tal kännetecknas av två beståndsdelar, en
reell och en »imaginär», varvid man med imaginär
förstår, att den innehåller i — 1 som faktor. Den
som gav den första sammanhängande redogörelsen
för de komplexa talen var tysken Gauss
(1777-1855), kallad matematikernas konung. Särskilt vid
symbolisk räkning medger införandet av komplexa
storheter avsevärda förenklingar och utgör i själva
verket ett villkor för att vissa elektriska
övergångsfenomen över huvud taget skall kunna matematiskt
och överskådligt behandlas.
Det skulle föra för långt att här söka räkna upp
alla de ytterligare forskningsområden på vilka
matematiken arbetar. Ännu mindre är det möjligt att
nämna de tusentals forskare som arbetat och ännu
arbetar på dess fält. Endast några av de allra största
namnen skall här ytterligare nämnas: Huyghens
(Holland), bröderna Bernoulli (Schweiz), Euler
(Tyskland), Laplace (Frankrike), Jacobi
(Tyskland), Eisenstein (Tyskland), Weierstrass
(Tyskland), Poincaré (Frankrike) och i Sverige Fredholm,
Carleman och Beurling.
På samma gång som den samlade matematiken
kan sägas bilda ett monument till det mänskliga
snillets ära, bör det också hållas i minnet, att den också
visar människoandens begränsning. Naturen själv
arbetar utan matematik, men vi kan inte förstå den
utan att använda matematik.
Se vidare Pi (71).
Artiklar, som saknas i detta band, torde sökas i registerbanden
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
