Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Matematik och geometri — tolv vore bättre än tio - Några viktiga geometriska satser och bevis
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK och GEOMETRI 228 I
Några viktiga geometriska satser och bevis
i) Summan av vinklarna i en triangel är 2 räta
(180°).
Konstruktion och bevis: Drag en linje genom
triangelns spets och parallellt med baslinjen. Då
blir A’ = A och B’ = B. Eftersom A’ + C +
B’ = 1800, följer att också A + B + C = 1800.
(Se fig. A.)
2) En yttervinkel till en triangel är lika med
summan av de två motstående innervinklarna.
Bevis: (En yttervinkel är i föreg. fig. betecknad
med y.) Enär y + A = 1800 och A + B + C =
i8o°, blir y + A-A+B+C, dvs. y = B + C.
3) I en cirkel är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor
som periferivinkeln, om båda står på samma båge.
Konstruktion och bevis: Drag linjen C O E.
Eftersom triangeln A O C är likbent, måste
vinklarna x och y vara lika stora. Vidare är enl. sats
2 härovan z = x + y, dvs. z = 2 y. Samma bevis
gäller för figurens högra del, varav följer, att
vinkeln A O B är dubbelt så stor som A C B.
(Se fig. B.)
4) Följdsats I: Alla periferivinklar som står på
samma båge är lika stora.
5) Följdsats II. Vinkeln i en halvcirkel är rät (go°).
Medelpunktsvinkeln är nämligen här 1800. (Se
fig- C.)
basen • höjden
6) Ytan av en triangel är––––––––
2
Konstruktion och bevis: Påbygg den givna
triangeln A B C med en likadan triangel, D C B,
så att de tillsammans bildar en parallellogram.
Utsätt vidare punkterna B’ och D’ så att A B’ =
C D’ = stycket h = höjden står vinkelrät mot
A C (= basen b}. De streckade trianglarna blir
då lika stora. Rektangeln A B’ D’ C med ytan
h • b blir då lika stor som parallellogrammen
A B D C. Halva parallellogrammen, dvs. triang-
b • h
eln A B C, får sålunda ytan–––. (Se fig. D.)
2
7) I en rätvinklig triangel är kvadraten på
hypotenusan lika med summan av kvadraterna på
kate-terna (Pytagoras sats), dvs. c2 = a2 + b2 enl.
fig- E.
Konstruktion och bevis:
Fullborda kvadraten på c och utbygg figuren med
en yttre kvadrat, vars sida är a + b. Härvid
uppkommer runtom centralkvadraten 4 trianglar,
vardera med ytan ^2 ab. Man erhåller
(a + b}2 = c2 + 4 • /2 ab
dvs. a2 + b2 + 2 ab = c2 + 2 ab
varav a2 + b2 = c2. (Se fig. F.)
För den pytagoreiska satsen finns åtminstone ett
20-tal olika bevis; det nu givna torde dock vara
det enklaste.
Av särskilt intresse är sådana rätvinkliga trianglar
där sidorna kan uttryckas i hela tal. Den
enklaste av dessa är den s. k. »egyptiska triangeln»
med sidorna 3, 4 och 5 (32 + 42 = 9 + 16 =
25 = 52). Andra kombinationer är 5, 12, 13;
vidare 8, 15, 17 samt 12, 35, 37 osv. Pytagoras
själv har angivit följande regel i det fall den
mindre kateten uttryckes genom ett udda tal:
»Uträkna detta tals kvadrat. Drag 1 därifrån och
halvera, så får du den andra kateten. Lägg 1 till
denna, så får du hypotenusan.» Ex. Den mindre
kateten är 7. Kvadraten på 7 är 49. Härifrån
dragés 1 och halveras. Den andra kateten blir då
24 och hypotenusan 25. Kontroll: 49 + 576 = 625.
Artiklar, som saknas i detta band, torde sökas i registerbanden
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
