Matematisk Tidsskrift / A. Aargang 1919 / 142 (1919-1922) Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

Lægges hertil de to analoge Ligninger faas:

        4(sin² A sin² B + sin² B sin² C + sin² C sin² A) = 3(sin² A
+ sin² B + sin² C) - (sin²(A - B) + sin²(B - C) + sin² (C - A))        (1)

Videre faas ved at kvadrere : sin² A - sin² B = sin (A - B)sin C:

        sin⁴ A + sin⁴ B - 2 sin² A sin² B = sin² (A - B) sin² C.

Lægges hertil de to analoge Ligninger faas:

        2(sin⁴ A + sin⁴ B + sin⁴ C) - 2(sin² A sin² B + sin² B sin² C + sin² C sin² A) = sin² (A - B) sin² C + sin² (B - C) sin² A + sin² (C - A) sin² B        (2)

Ved Addition af (1) og (2) faas, idet der sættes:

        2(sin² A sin² B + sin² B sin² C + sin² C sin² A) = (sin² A
+ sin² B + sin² C) - (sin⁴ A + sin⁴ B + sin⁴ C).

        3(sin² A + sin² B + sin² C) - [sin⁴ A + sin⁴ B + sin⁴ C + (sin² A + sin² B + sin² C)²] = sin² (A - B) cos² C + sin² (B - C) cos² A + sin² (C - A) cos² B        (3)

Da højere Side af (3) kun kan blive Nul for A = B = C (det
udartede Tilfælde A = 180°         B = C = 0 fraregnet), er Paastanden
herved bevist.

        (Løsning indsendt af A. M. Bunk og Bisgaard Kristensen).

12. Udled følgende Relation mellem en Trekants Vinkler:

        cos 2A sin²(B - C) + cos2B sin²(C - A) + cos 2C sin²(A - B) =

4(sin²A sin([pi]/3 + A)sin([pi]/3 - A) + sin²B sin([pi]/3 + B)sin([pi]/3 - B) + sin²C sin([pi]/3 + C)sin([pi]/3 - C)).

                        H. Paulli.

Opgavestillerens Løsning:

Multipliceres med 2 paa begge Sider af (2) i forrige Opgave
og lægges hertil (1) faas:

        cos 2 A sin² (B - C) + cos 2 B sin² (C - A) + cos 2 C sin² (A - B)
= 3 (sin² A + sin² B + sin² C) - 4(sin⁴ A + sin⁴ B + sin⁴ C)

Indsættes paa højre Side:

3 - 4 sin²A = 4(sin²([pi]/3)sin² A) = 4sin([pi]/3 + A)sin([pi]/3 - A)

og analoge, faas den søgte Relation.

                        (Ogsaa løst af Bisgaard Kristensen og Poul Holst).

13. Bevis, at i en spidsvinklet Trekant er Summen af
Afstandene fra Vinkelspidserne til Højdernes Skæringspunkt

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>