Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
32 j. HJELMSLEV:
Maade GE lagt paa CA, saa paastaas det, at Linien GH maa
falde ud ad CD. Thi lad den falde paa en anden Linie CK.
Saa maatte, da EGH = HGF, ACK=KCB. Men Vinklen
ACK er større end ACD, KCB mindre end DCB, men da
ACD–=DCB, vilde heraf følge ACK> KCB. Følgelig kan
Linien GH ikke falde paa en fra CD forskellig Linie CK.
Den falder da paa CD, og Vinklen EGH dækker altsaa ACD.
Følgelig er alle rette Vinkler lige store, hvilket skulde
bevises 1).
Til dette Bevis er kun at bemærke, at det benytter et ret
kompliceret Flytningspostulat. Dette er dog ikke udtrykkelig
formuleret, men maa forudsættes at have omtrent følgende
Indhold. Der eksisterer en Flytning, som fører et givet
Liniestykke EF over i et andet lige saa stort Liniestykke AB,
saaledes at ethvert Punkt paa en bestemt Side af EF føres
over i et tilsvarende Punkt paa en bestemt Side af AB, og
saaledes at ret Linie føres over i ret Linie.
11, Hilbert har i sin »Grundlagen der Geometrie«, Satz 15,
den samme Sætning, at alle rette Vinkler er kongruente; og
han tilføjer den Bemærkning, at Euklid - »meiner Meinung
nach mit Unrecht« - har opstillet Sætningen blandt Axiomerne
(Hilbert skelner ikke mellem Axiomer og Postulater). Den
samme Mening havde altsaa Legendre, og ser man nærmere
til, viser det sig, at der reelt er meget lidt Forskel paa Huberts
og Legendres Bevis2).
Huberts Flytningsaksiom har følgende Indhold: Naar 2
Trekanter ABC og A^B^CI har en Vinkel og de to hosliggende
!) Saccheri har opstillet et noget lignende Bevis. Et ældre Bevis af Proklos,
som væsentlig beror paa, at en ret Vinkel ved Flytning altid vedbliver
at være en ret Vinkel, er jo ikke meget værdt. Se Heath, The thirteen
books of Euclids Elements, vol. I p. 200, hvor jeg dog ikke kan tiltræde
Bemærkningen om, at Bevisets væsentlige Mangel skulde være den, at
det bygger paa Forlængelsens Entydighed.
2) At Hilbert ikke har kendt Legendres Bevis saaledes som det ovenfor er
gengivet, turde fremgaa af en Fodnote (Grundl. d. Geom. S. 17, 3. Aufl.),
hvori han som Svar paa en Bemærkning af Vahlen om, at allerede Legendre
har bevist Sætn. om de rette Vinkler, anfører, at Legendre forudsætter,
at Vinklerne danner »ein stetiges Grössensystem«. Flerpaa kan jeg nu
ikke finde nogen anden Forklaring end den, at Hilbert maa have slaaet
op i en senere Udgave af Legendre, hvor ganske vist Legendres
oprindelige Bevis er blevet erstattet med en Kontinuitetsbetragtning.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
