Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TRE FOREDRAG OVER GEOMETRIENS GRUNDLAG. 55
Kateterne) maa lyde saaledes : I en retvinklet Trekant er
Hypotenusen sædvanlig større end Kateterne, men i særlige Tilfælde
kan den være lig en af Kateterne. Dette er ensbetydende
med den Protagoreiske Kendsgerning, at Tangenten følger
Cirklens Periferi langs en hel sammenhængende Strækning.
3. Der melder sig jo nu imidlertid det Spørgsmaal, om
det Axiomsystem, vi derved er naaet til, er logisk uangribeligt.
Proklos har jo, som vi saa i mit første Foredrag, ført et Bevis
for, at 2 rette Linier ikke kan have et Stykke fælles. Vi skal
hertil for det første bemærke, at Proklos’ Bevis ikke er
bindende uden det Eudoxiske Axiom, og de ikke-Eudoxiske
Geometrier berøres altsaa i hvert Fald ikke af Beviset. Et
Eksempel paa en ikke-Eudoxisk Geometri, hvor det nylig
opstillede Axiomsystem vil gælde, kan nu virkelig konstrueres,
idet man danner en Koordinatgeometri, hvor Koordinaterne er
duale Tal, d. v. s. Tal af Formen a + e^, hvor a og b er
reelle Tal, og e2 = o. Et Punkt i denne Geometri er et Talpar
(xl -j- 8^2 , y\ + £%). En ret Linie er Indbegrebet af de Punkter,
der tilfredsstiller en Ligning af iste Grad:
Ax+ßy+C=o,
hvor A, B, C er duale Tal, men A og B ikke begge e-Tal
(d. v. s. af Formen e£).
Linierne
Ax -h By + C = o,
kaldes vinkelrette paa hinanden, naar AAl -f- BB± = o, og
parallele, naar AB± = A^B.
Er ABl - A±B ^ eÆ, har Linierne eet bestemt
Skæringspunkt, hvis Koordinater er udtrykt paa den sædvanlige Maade.
Er ABl - AtB =. e/£, da har Linierne enten intet Punkt fælles,
eller uendelig mange. Har Linierne et Punkt (^Jo)
kan Ligningerne nemlig skrives
A(x - xQ} + B(y- Jo) -o,
A,(x - *b) + B±(y -Jo) = o,
hvoraf man faar
x - X - eÆÆ,
hvor k er vilkaarlig, altsaa
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
