Nordisk familjebok / 1800-talsutgåvan. 16. Teniers - Üxkull / 709-710 (1892) Tema: Reference Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Triftong ...

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

figurer, hvilka utföras medelst de trigonometriska
funktionerna, t. ex. beräkning af en triangels yta,
då två vinklar och en sida i densamma äro gifna. –
En sferisk triangel är bestämd till sin form, då tre
af dess sex bestämningsstycken äro gifna. Egentligen
borde vid beräkningen af de tre återstående ett nytt
slag af trigonometriska funktioner vara behöfligt,
men på grund af särskilda, för sferen gällande
förhållanden, kunna de vanliga trigonometriska
funktionerna äfven här användas. De formler, som
förekomma vid beräkning af sferiska trianglar,
äro delvis mycket lika dem, söm gälla för plana
trianglar. Så motsvaras
t. ex sinusteoremet af formeln

sin a		sin b		sin c
–––––-	=	–––––-	=	–––––-
sin A		sin B		sin C

der a, b, c äro sidorna och A, B, C
de mot dem stående vinklarna i den sferiska
triangeln. – De trigonometriska kalkylerna utföras
i allmänhet med tillhjelp af logaritmiska och
trigonometriska tabeller. – Någon gång begagnas ordet
trigonometri, ehuru mindre egentligt, såsom benämning
på den del af algebraiska analysen, som behandlar de
trigonometriska funktionernas analytiska egenskaper,
deras utveckling i oändliga serier eller oändliga
produkter o. s. v.

Den plana trigonometrien i egentlig mening är af
modernt ursprung. Visserligen finnes redan hos Heron
(omkr. 100 f. Kr.) planimetriska beräkningar, för
hvilka vi skulle använda trigonometriska formler, och
hos inderna samt araberna användes vid beräkningen
af de för astronomiskt bruk afsedda trigonometriska
tabellerna vissa trigonometriska satser. Den, som
först på trigonometrisk väg bestämde plana trianglars
sidor och vinklar, var emellertid Regiomontanus,
hvilken i sitt arbete »De triangulis omnimodis»
(skrifvet 1463, utg. af Schöner 1533) grundlade
den plana trigonometrien och bl. a. uppställde
sinusteoremet. En ännu utförligare lärobok i
trigonometri utgafs af Pitiscus (1600). I denna
finnas både cosinusteoremet, ehuru under formen af en
proportion, och den ofvan omnämnda formeln, hvilken
vid logaritmiska räkningar ersätter detsamma. Under
de sista århundradena har visserligen en mängd
trigonometriska formler rörande trianglar blifvit
angifven, men någon väsentlig utbildning af den
plana trigonometrien har, på grund af densammas
elementära natur, icke kunnat ske. Emellertid
undergick den vid midten af 1700-talet ur formel
synpunkt en väsentlig omgestaltning genom Euler
(se Trigonometriska funktioner). – Den sferiska
trigonometrien leder sina anor tillbaka till
Hipparchos (omkr. 150 f. Kr.) och Menelaos (omkr. 100
e. Kr.), hvilka båda skrifvit arbeten rörande
sferiska trianglars beräkning. Utförligare behandlades
ämnet af Ptolemaios, hvilken i sin »Almagest» angaf
grundformlerna för beräkning af rätvinkliga sferiska
trianglar. Hos araberna framställdes nya formler
af Al-Battani och Dsjabir ibn Aflah, efter hvilken
senare den s. k. »geberska satsen» för rätvinkliga
sferiska trianglar blifvit
uppkallad. I Europa behandlades den sferiska
trigonometrien först af Regiomontanus, hvilken
löste problemet att bestämma en triangels sidor,
då alla tre vinklarna äro gifna, samt sedermera
af Copernicus och Tyge Brahe, från hvilken den
»prostaferetiska» räkningen (se Prostafairesis)
härleder sig, äfvensom af Rhaethicus och Pitiscus. I
början af 1600-talet angaf Neper enkla regler för
trianglars lösning medelst de efter honom benämnda
satserna, och vid midten af 1700-talet fulländades i
hufvudsak den sferiska trigonometrien genom Eulers
»Principes de la trigonométrie sphérique» (1753). Det
enda tillägg, som sedermera dertill i sak gjorts,
utgöres af de formler, hvilka i början af 1800-talet
ungefär samtidigt upptäcktes af Gauss och Delambre.
G. E.

Trigonometriska funktioner kallas vissa storheter,
som förekomma vid lösningen af trigonometriska
problem. Dessa storheter äro egentligen till antalet
sex, nämligen sinus, cosinus, tangent, cotangent,
secant och cosecant. Hänförda till en viss storhet x
såsom oberoende variabel, tecknas de sex funktionerna
i ordning: sin x, cos x, tg x, cotg x, sec x, cosec
x. Representeras den oberoende variabeln x genom en
vinkel, kan hvar och en af de sex trigonometriska
funktionerna definieras såsom förhållandet mellan
två sidor i en triangel ABC, der vinkeln B är rät och
vinkeln A lika med x (se fig.). Under detta antagande
är nämligen

Dessa definitioner på de
trigonometriska funktionerna äro emellertid lämpliga
endast med hänsyn till storheternas användning inom
trigonometrien. Inom den högre analysen definieras
de på helt annat sätt och bilda tillsammans en grupp
af funktioner, som på det närmaste sammanhänga med
exponentialfunktionen. – Inom matematikens historia
hafva de trigonometriska funktionerna först uppträdt
under en helt annan form än den ofvan angifna,
nämligen såsom linier hörande till en cirkelbåge. Vid
lösningen af vissa problem rörande trianglar befanns
det nödigt att införa linier, hvilka till sin storlek
voro beroende af en cirkelbåges längd, så att, då
linierna voro gifna, cirkelbågens längd omedelbart
kunde an-gifvas, och tvärtom. Den första linie, som
härvid infördes, var i sjelfva verket icke någon
af de ofvan anförda trigonometriska funktionerna,
utan kordan, d. v. s. sammanbindningslinien mellan
cirkelbågens ändpunkter. Sedermera fann man emellertid
lämpligare att i stället för kordan använda halfva
kordan för dubbla bågen; och om radien i den cirkel,
hvaraf bågen utgör en del, antages vara lika med
längdenheten, är denna linie just sinus för bågens

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>