1223 Matematik 1224 lades af Platon, T h e a i t e t o s och Euklides (i "Elementa"). Sådana storheters närmevärden bestämdes i speciella fall af Archimedes, Apollonios, Heron, T h e o n från Smyrna och T h e o n från Alexandria. Dessutom summerades vissa enklare talserier af Pythagoras, Euklides och Archimedes. - Den egentliga ekvationsteorien var hos grekerna föga utbildad. Medelst geometrisk konstruktion löste Euklides problem, som ledde till ekvationer af de två första graderna; för speciella ekvationer af 3:e och 4:e graden användes koniska sektioner. Under mera algebraisk form behandlades ekvationer af Heron, Tymaridas och Diofantos. Dock kan man ej med visshet afgöra, om tillvaron af 2 rötter till en kvadratisk ekvation varit dem bekant. Hos romarna erhöll matematiken ingen väsentlig utbildning. Geometrien studerades efter grekiska källor mest för praktiska ändamål, hvarvid vissa approximativa planimetriska formler användes. Aritmetiken, försvårad genom en invecklad bråk-beteckning, sträckte sig ej utöfver de enklaste räknesätten, hvarvid räkning med kolumner begagnades. Den romerska matematikens blomstring inföll under de s. k. "agrimensorerna" (se d. o.), men äfven hos dessa anträffas endast undantagsvis några nya resultat, t. ex. summering af pyramidaltal och kubiktal. F. ö. öfversattes i utdrag de mera elementära af de grekiske matematikernas skrifter, särskildt genom B o é t h i u s, hvilken därigenom under medeltiden erhöll ett oförtjänt rykte som matematiker. Hufvudsakligen oberoende af grekerna utvecklade sig däremot matematiken i Indien. Af indiskt ursprung är positionsaritmetiken med därtill hörande bruk af noll - ehuru visserligen de indiska siffrorna till utseendet högst betydligt skilja sig från de nu brukliga -, vidare ett stort antal speciella räknesätt, t. ex. regula de tri. Hos inderna utvecklades äfven kombinations- och permutationsteorien samt ekvationsteorien, hvarvid tillvaron i vissa fall af två rötter till en kvadratisk ekvation vederbörligen uppmärksammades. Äfven geometrien och trigono-metrien utbildades afAryabhatta, Brahme-g u p t a och Bhaskara. Särskildt egendomlig för inderna är omformningen af kvadrater till cirklar af samma yta samt införande af sinus i st. f. grekernas kordor, i sammanhang hvarmed äfven sinustabeller uträknades. På ett synnerligen skarpsinnigt sätt behandlades talteorien, hvarvid både l:a och 2:a gradens obestämda ekvationer löstes, de förra genom ett med kedjebråksmetoden analogt förfaringssätt, de senare genom en cyklisk metod. Anmärkas bör dock, att hos inderna satser ofta grundades på blotta åskådningen, utan att såsom hos grekerna någon sträng bevisföring ansågs behöflig. Om kinesernas matematiska arbeten, som vid en närmare undersökning befunnits härröra från en vida senare tid än de inhemska uppgifterna velat göra troligt, må blott i förbigående nämnas, att de företrädesvis behandlade algebran, hvarvid metoder för approximativ lösning af numeriska ekvationer framställdes samt äfven problem ur den obestämda analysen löstes. I allmänhet synes den kinesiska matematiken i väsentlig mån utvecklats under indiskt inflytande. Hvad grekerna och inderna på skilda vägar inom matematiken upptäckt tillvaratogs och tillökades af araberna. "Redan mot slutet af 700-talet började de förnämsta grekiska arbetena öfversättas på arabiska, och vid samma tid var bruket af noll och indiska siffror gängse. Företrädesvis utbildades algebran, i sammanhang hvarmed (särskildt hos väst-araberna) ett lämpligare beteckningssätt infördes. Ekvationer af l:a och 2:a graden löstes fullständigt under algebraisk form; däremot strandade alla försök att oberoende af geometrisk konstruktion (d. v. s. in-tersektion af två koniska sektioner) lösa ekvationer af 3:e och 4:e graden. I sammanhang med algebran behandlades äfven aritmetiken, som tillökades med flera nya räknesätt, t. ex. den sedan s. k. "regula falsi''. Äfven några nya talserier summerades, och talteoretiska undersökningar förekommo; ej heller kedjebråk och magiska kvadrater voro alldeles okända. Geometrien studerades företrädesvis med anslutning till grekiska arbeten, och särskildt erhöll trigonometrien betydlig utbildning genom införandet af funktionerna tangent och, om också i förbigående, kotangent, genom nya metoder för beräkning af sinustabeller och genom uppställande af nya formler inom den sfäriska trigonometrien. Den arabiska matematikens blomstringsperiod kan anses ha börjat med Muhammed ibn Musa A L-chwärizmi (se Chwärazmi), som lefde omkr. 800 och hvars namn gett upphof till termen "algoritm", och slutat med Omar Alchaija-m i (omkr. 1100) samt omfattade sålunda en tidrymd af ung. 300 år. Under det matematiken hos araberna flitigt bearbetades, gjorde den i Västerlandet så godt som inga framsteg. Litteraturen bestod till en början uti afskrifter af de romerske matematikernas kompendier samt torftiga kommentarer därtill. Småningom trängde dock den arabiska matematiken in och därmed någon kännedom om de grekiske författarnas arbeten. I sammanhang därmed utträngdes den romerska kolumnräkningen af den arabiska positionsräkningen ("algorisinus"), särskildt efter Leonardo Pisano (omkr. 1200), hvilken på ort och ställe gjort sig noga förtrogen med arabernas arbeten. Pisano var, jämte Jordanus Nemo-r a r i u s, den förnämste bland medeltidens matematiker. Hans undersökningar sträckte sig både till talteorien, inom hvilken han löste flera ganska invecklade problem, aritmetiken och algebran samt äfven till geometrien. Emellertid visade sig en lif-ligare verksamhet inom matematiken först mot medeltidens slut, då Peuerbach och hans lärjunge Regiomontanus reformerade trigonometrien, upprättade nya sinus- och tangenttabeller samt jämväl på algebrans och geometriens område förberedds vetenskapens renässans. De biträddes därvid äfven af andra, såsom Nicolaus Cusanus, Lionardo daVinc i, Werner och D ii r e r, hvilka alla företrädesvis sysselsatte sig med geometriska frågor. Mot renässansens slut sammanfattade LucaPacioli diBorgo (1494) i ett enda arbete sin tids vetande i matematiskt afseende. Detta bestod hufvudsakligen af aritmetiken, algebran t. o. m. 2:a gradens ekvationer och geometrien ung. till samma omfång som Euklides' "Ele-menta". Under 1500-talet utvecklades matematiken till en början företrädesvis af italienarna. Det alge-