1225 Matematik 1226 braiska beteckningssättet förenklades. Genom F e r-ros, Tartaglias och Cardanos upptäckt af den kubiska ekvationens lösning tog ekvationsteorien ett stort steg framåt, hvilket ytterligare ökades genom Ferraris snart därpå följande lösning af den bikvadratiska ekvationen. Äfven i öfrigt utbildades algebran af Cardano och B o m b e 11 i samt mot århundradets slut af V i é t e, hvilken införde lämpligare tecken för de obekanta, utmärkte äfven de bekanta storheterna med bokstäfver samt framställde en allmän teori för ekvationer och deras rötter, en teori, som sedermera fullföljdes af H a r-r i o t. Trigonometrien bearbetades af C o p p e r-n i c u s och efter honom af R h 33 t i c u s, som äfven förfärdigade synnerligen noggranna trigono-metriska tabeller. Yiéte framställde vissa nya tri-gonometriska formler och förberedde genom sin till-lämpning af algebran på geometriska frågor upptäckten af den analytiska geometrien. Läran om kägelsnitten behandlades, ehuru utan att några viktigare resultat vunnos, af S n e 11 och M a u r o-1 i c o. För en lättare räknemetod verkade S t e v i n framgångsrikt genom sin nitälskan för införande af decimalräkningen. F. ö. behandlades den vanliga räknekonsten och den lägre algebran i ett stort antal läroböcker, hvilka i sin mån bidrogo till att förenkla och förbättra det matematiska teckenspråket. En mera mångsidig verksamhet på matematikens område blef märkbar under 1600-talet. Århundradets början hade att uppvisa den visserligen delvis förberedda upptäckten af logaritmerna genom N e-p e r och B riggs, hvarmed för de numeriska räkningarna bereddes en oerhörd lättnad och hvilken äfven bidragit till bl. a. interpolationsmetodernas utveckling. Med uträknande af logaritmtabeller sysselsatte sig flera matematiker, i synnerhet Briggs och V l a c q. Både i metodiskt och i reellt hänseende af genomgripande betydelse var den af Descartes (Cartesius) uppställda analytiska geometrien, genom hvilken funktionsbegreppet, om också närmast under geometrisk form, infördes i matematiken samt en förening emellan algebra och geometri åvägabragtes, hvarigenom den senare disciplinen h. o. h. omgestaltades. Delvis med anslutning till Descartes, delvis med den grekiska geometrien till utgångspunkt utfördes undersökningar af Schooten, Pascal, La Hire, M y-d o r g e och H u y g e n s, hvilken sistnämnde studerade flera kurvor af högre ordning, särskildt den förut af Pascal behandlade cykloiden. Läran om de reguljära kropparna bearbetades af K e p l e r. Från en alldeles ny synpunkt behandlades geometrien af Desargues, hvilken framställde den projektiviska metoden och transversalteorien, därvid biträdd af Pascal och La Hire. - Äfven analysen rönte delvis inverkan af Descartes' upptäckt. Speciella, infinitesimalkalkylen förebådande metoder för lösning af tangent- samt maximi- och minimi-problem, äfvensom för seriesummering, kurvors rek-tifikation och kvadratur framställdes af Kepler, F e r m a t, Pascal, C a v a l i e r i, Descartes, R o-berval, Mercator, Wallis, Hudde, Sluze, Van Heuraet, Neil och B a r r o w. Vidare utbildades probabilitetskalkylen af Pascal, .Huygens och Fermat. Den sistnämnde grundlade äfven den moderna talteorien och upptäckte ett stort antal viktiga dithörande satser; men då flertalet af dem blifvit funnet genom induktion, bidrog han endast obetydligt till teoriens utveckling i metodiskt hänseende. Ekvationsteorien behandlades af G i-r a r d och Descartes, hvilka framställde viktiga satser rörande rötterna (äfven de negativa och imaginära) samt deras relationer till koefficienterna. Inom samma område arbetade Wallis och mot århundradets slut Tschirnhaus, som angaf en metod att befria hvarje ekvation från ett godtyckligt antal termer och på denna väg trodde en allmän lösning af w-te-gradsekvationen kunna erhållas, en förmodan, som dock snart visade sig vara oriktig. Mot slutet af 1600-talet inträffade N e w t o n s och L e i b n i z' epokgörande upptäckt af infini-tesimalräkningen (se D i f f e re n ti a l r ä k n i n g), hvarigenom de förut inom den högre analysen använda spridda metoderna sammanfördes och generaliserades till en särskild kalkyl, ytterst grundad på begreppet gränsvärde, och hvars utbildande under nära ett århundrade utgjorde den hufvud-sakliga uppgiften inom matematiken. Från att inbegripa blott de enklaste reglerna för differen-tiation och integration samt lösning af vissa speciella differentialekvationer utvecklades den nya kalkylen till att omfatta ett fält af nästan obegränsad vidd och ledde medelbart äfven till en betydelsefull generalisation af funktionsbegreppet. Under 1600-talet hade man nämligen med funktion vanligen förstått blott en potens eller på sin höjd ett algebraiskt polynom, men nu inordnades småningom under begreppet funktion äfven expo-nentialuttryck, logaritmer o. s. v. Med anslutning till Newtons och Leibniz' arbeten utbildades integralkalkylen af bröderna B e r n o u 11 i. Nya grundläggande satser framställdes af T a y l o r och M a c l a u r i n. Nya problem behandlades, t ex. de isoperimetriska, som slutligen ledde till upptäckten af variationskalkylen. Teorien för differentialekvationers integration tillväxte betydligt och fullkomnades genom undersökning af de singulära solutionerna samt nya slag af ekvationer, t. ex. de partiella; och hos vissa integraler upptäcktes anmärkningsvärda egenskaper, hvarigenom uppslaget gafs till teorien för de elliptiska integralerna. I sammanhang därmed erhöll teorien för serier viktiga tillskott genom Newton, som framställde den första interpolationsformeln, M o i v r e, som behandlade de rekurrenta serierna, Taylor, som utbildade differenskalkylen, Stirling och Maclaurin, som upptäckte viktiga allmänna summationsformler, samt genom flera andra. På alla dessa områden var Euler verksam till vetenskapens utbildning, och han sammanfattade senare de vunna resultaten i arbeten, som under många årtionden gällde som klassiska. - De öfriga grenarna af matematiken blefvo ej heller alldeles förbisedda. Inom ekvationsteorien angaf Newton en approximationsmetod för numeriska ekvationer samt ett sätt att bestämnia en öfre gräns för rötterna. Äfven teorien för de imaginära rötterna och för relationerna mellan en ekvations koefficienter och dess rötter fullföljdes. Senare sysselsatte sig Vandermonde och B e z o u t med eliminationsteorien samt transformationer af ! ekvationer till enklare former, och vid samma tid