Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Trigonometri - Trigonometrisk - Trigonometriska funktioner
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
741
Trigonometrisk-Trigonometriska funktioner
742
utbildning af den plana trigonometrien har, på
grund af densammas elementära natur, icke kunnat
ske. Emellertid undergick den vid midten af 1700-talet
ur formell synpunkt en väsentlig omgestaltning
genom Euler (se Trigonometriska funktioner). - Den
sfäriska trigonometrien leder sina anor tillbaka till
Hipparchos (omkr. 150 f. Kr.) och Menelaos (omkr. 100
e. Kr.), hvilka båda skrifvit arbeten rörande sfäriska
trianglars beräkning. Utförligare behandlades ämnet
af Ptole-maios, hvilken i sin "Almagest" angaf
grundformlerna för beräkning af rätvinkliga sfäriska
trianglar. Hos araberna framställdes nya formler
af el-Battäni och Geber, efter hvilken senare den
s. k. "geberska satsen" för rätvinkliga sfäriska
trianglar blifvit uppkallad. I Europa behandlades
den sfäriska trigonometrien först af Re-giomontanus,
hvilken löste problemet att bestämma en triangels
sidor, då alla tre vinklarna äro gif na, samt
sedermera af Coppernicus och Tyko Brahe, från hvilken
den "prostaferetiska" räkningen (se Prostafairesis 2)
härleder sig, äfvensom af Rhseticus och Pitiscus. I
början af 1600-talet angaf Napier enkla regler för
trianglars lösning medelst de efter honom benämnda
satserna, och vid midten af 1700-talet fulländades
i hufvudsak den sfäriska trigonometrien genom Eulers
"Prin-cipes de la trigonométrie sphérique" (1753). Det
enda tillägg, som sedermera därtill i sak gjorts,
utgöres af de formler, hvilka i början af 1800-talet
ungefär samtidigt upptäcktes af Gauss och Delambre.
Trigonometrisk, som hör till trigonometrien.
Trigonometriska funktioner, mat., kallas
vissa storheter, som förekomma vid lösningen
af trigono-metriska problem. Dessa storheter äro
egentligen till antalet sex, nämligen sinus, cosinus,
tangent, kotangent, sekant och kosekant. Hänförda till
en viss storhet x som oberoende variabel, tecknas
de sex funktionerna i ordning: sin se, cos x, tg x,
cotg xf sec x, cosec x. Representeras den oberoende
variabeln x genom en vinkel, kan hvar och en af de
sex trigonometriska funktionerna definieras såsom
förhållandet mellan två sidor i en triangel ABC, där
vinkeln B är rät och vinkeln A lika med x (se fig.)-
Under detta antagande är nämligen
AB
cosec x = ,, . Dessa definitioner på de trigono-
metriska funktionerna äro emellertid lämpliga
endast med hänsyn till storheternas användning inom
trigonometrien. Inom den högre analysen definieras
de på helt annat sätt och bilda tillsammans en grupp
af funktioner, som på det närmaste sammanhänga med
exponentialfunktionen. - Inom matematikens historia ha
de trigonometriska funktionerna först uppträdt under
en helt annan form än den ofvan angifna, nämligen
såsom linjer hörande till en cirkelbåge. Vid lösningen
af vissa
problem rörande trianglar befanns det nödigt
att införa linjer, hvilka till sin storlek voro
beroende af en cirkelbåges längd, så att, då
linjerna voro gif na, cirkelbågens längd omedelbart
kunde anges, och tvärtom. Den första linje, som
härvid infördes, var i själfva verket icke någon
af de ofvan anförda trigonometriska funktionerna,
utan kordan, d. v. s. sammanbindningslinjen mellan
cirkelbågens ändpunkter. Sedermera fann man emellertid
lämpligare att i st. f. kordan använda halfva kordan
för dubbla bågen; och om radien i den cirkel,
hvaraf bågen utgör en del, antas vara lika med
längdenheten, är denna linje just sinus för bågens
medelpunktsvinkel. Uppritar man nämligen med A till
medelpunkt en cirkel, som går genom C, samt utdrar
linjerna CB och AB, tills de träffa cirkeln i K och D,
så är tydligen C B å ena sidan lika med halfva kordan
till dubbla bågen CD, å andra sidan lika med sin x,
eftersom AC är = 1. Drar man vidare genom D en tangent
och låter denna skära den utdragna AC i E, inses lätt,
att AB - cos x, och att på grund af likformigheten
hos trianglarna
ABC och ADE, DE=^-. AD =~~=tgx samt
AE - -.-’. AD= =sec;r. Drar man från
A Att AB
en radie AF vinkelrät mot AD och kallar vinkeln GAF
(komplementet till x) för y, kan det lätt visas,
att BC = cos y, Dti = cotg y och Å& = cosec y. Det
nu anförda förklarar också uppkomsten af de fem
sista trigonometriska funktionernas namn (om
härledningen af namnet sinus se Sinus 2). Urspr,
representerade nämligen tg x tangenten till en viss
cirkel, sec x en skärande linje (lat. secäre, skära)
i samma cirkel samt cos y, cotg y och cosec y i
ordning sinus, tangent och sekant för komplementet
till y. - Såsom ofvan nämndes, var kordan den
trigonometriska funktion - eller, mera exakt uttryckt,
trigonometriska linje -, som först behandlades. Den
användes redan af astronomen Ptole-maios vid hans
beräkningar af sfäriska trianglar och sedermera
hos inderna. Från de senare härrör bruket att
i st. f. kordan begagna sinus, en förbättring,
som upptogs äfven af de arabiske matematikerna, i
främsta lummet el-Battäni (d. omkr. 930) och snart
h. o. h. utträngde bruket af kordorna. Abulvefa
(omkr. 959) införde bruket af tangenten, och icke
heller de öfriga trigonometriska funktionerna voro
h. o. h. obekanta för araberna. Regio-montanus använde
däremot egentligen endast sinus och tangenten. Först
mot slutet af 1500-talet kommo de öfriga funktionerna
i bruk i Europa, ehuru det dröjde länge, innan de nu
brukliga namnen blefvo allmänt antagna. Den förste,
som direkt hänförde de trigonometriska funktionerna
till en rätvinklig triangel, var Rhseticus i midten
af 1500-talet. Som förhållanden mellan en sådan
triangels sidor torde de ha blifvit framställda först
af Pitiscus (1600). I äldre tider begagnades ej
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
