Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sannolikhetsbevis - Sannolikhetskalkyl, probabilitetskalkyl - Sannäs
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
729
Sannolikhetsbevis—Sannäs
730
Sannolikhetsbevis, log., bevis, som ej ådaga-
lägga slutsatsens sanning utan blott dess sanno-
likhet. Hit räknas hypotes-, analogi- och
induktionsbevisen.
Sannolikhetskalkyl, probabilitetskal-
k y 1, mat., läran om den matematiska sannolik-
heten el. probabiliteten samt dess tillämpning på
olika vetenskapliga områden.
En vetenskaplig s. uppträder, bortsett från ti-
digare sporadiska ansatser, först under senare
hälften av 1600-talet och då i form av en mate-
matisk teori för de olika gängse hasardspe-
len, med syfte att beräkna insatsernas storlek
och spelarnas vinstutsikter vid dylika spel. Vid
de vanliga spelen med t. ex. kort el. tärningar
kan det möjliga händelseförloppet i allm. upp-
delas i ett bestämt antal inbördes ”lika möjliga”
el. ”lika berättigade” fall. Den matematiska san-
nolikheten för inträffandet av någon viss med
spelet förbunden händelse definierades då såsom
kvoten mellan antalet av de fall, som äro gynn-
samma för händelsens inträffande, och hela an-
talet möjliga fall. Så är t. ex. sannolikheten att i
ett kast med en vanlig tärning slå en sexa lika
med emedan av de sex möjliga fallen endast
ett är gynnsamt. På samma sätt är sannolik-
heten att vid dragning av ett kort ur en vanlig
kortlek få en hjärter lika med el. Om alla
över huvud tänkbara fall äro gynnsamma för
händelsens inträffande, så blir sannolikheten lika
med i, och händelsen är då matematiskt viss; i
det motsatta fallet blir sannolikheten lika med o,
och händelsen är matematiskt omöjlig. Bortsett
från dessa extrema fall, blir sannolikheten ett
tal mellan o och i, och sannolikheterna för in-
träffandet av en viss händelse och dess kontra-
diktoriska motsats bli tillsammans lika med i.
Sannolikheten för att åtm. endera av två varandra
uteslutande händelser inträffar är lika med sum-
man av sannolikheterna för dessa händelser var
för sig (s:s additionssats). Sannolikheten
för det samtidiga inträffandet av två inbördes
oberoende händelser är lika med produkten av de
särskilda sannolikheterna (s:s m u 1 t i p 1 i k a-
t i o n s s a t s). Om man utför en lång serie av
försök, t. ex. en serie kast med en tärning, och
därvid observerar i hur stort antal av försöken
en viss händelse inträffar, så har man en san-
nolikhet, som är mycket nära i, för att kvoten
mellan det nämnda antalet och hela antalet ut-
förda försök ligger mycket nära det tal, som
uttrycker sannolikheten för händelsens inträf-
fande i varje enskilt försök (Bernoullis
teorem). Vid en lång serie kast med en tär-
ning har man alltså en sannolikhet, som ligger
mycket nära i, för att antalet erhållna sexor
uppgår tillnärmelsevis till av hela antalet ut-
förda kast.
Dessa satser och begreppsbildningar avsågo till
en början endast teorien för hasardspelen. Under
1700-talet inträdde emellertid en livlig utveckling
av s., som snart kom att tillämpas även på helt
andra områden, där den grundläggande definitio-
nen strängt taget icke kunde användas, emedan
en uppdelning i lika möjliga fall icke är tänkbar.
På grund härav ha under senare tid många för-
sök gjorts att modifiera den ursprungliga defi-
nitionen på matematisk sannolikhet el. ersätta
den med en helt ny. De föreslagna nya definitio-
nerna utgå i allm. från det statistiska fre-
kvenstalet, varvid den matematiska sanno-
likheten för en händelse definieras t. ex. som
det gränsvärde, vartill det relativa frekvensta-
let för händelsens inträffande vid en serie upp-
repade försök närmar sig, då antalet försök i
serien växer obegränsat.
En viktig uppgift för s. är undersökningen av
sådana variabla storheter, vilka kunna antaga
olika värden, vart och ett med sin särskilda san-
nolikhet. Med medelvärdet el. matema-
tiska förväntningen av en sådan stor-
het förstås summan av de produkter, som erhål-
las, då vart och ett av de möjliga värdena mul-
tipliceras med sin motsv. sannolikhet. Om den
variabla storheten representerar en penningsum-
ma, t. ex. vinsten på ett hasardspel el. på en
lottsedel, så uttrycker den matematiska förvänt-
ningen (åtm. under vissa förutsättningar) det be-
lopp, som skäligen kan betalas som insats el.
som pris för lottsedeln.
Redan tidigt kom s. att få viktiga användning-
ar inom befolkningsstatistiken, sär-
skilt i fråga om det statistiska utforskandet av
dödligheten. Härigenom möjliggjordes upp-
komsten av försäkringsmatematiken.
Inom läran om behandlingen av observationsfelen
vid astronomiska och fysikaliska mätningar har
s. viktiga användningar. Det gäller här att med
hjälp av det tillgängliga observationsmaterialet
beräkna de bästa möjliga närmevärdena på den
el. de sökta storheterna. Hithörande användningar
av s. sammanfattas ofta under namnet minsta
kvadratmetoden. Medelfelet för en
variabel storhet definieras såsom kvadratroten
ur medelvärdet för kvadraten på variabelns av-
vikelse från sitt eget medelvärde, och namnet
”minsta kvadratmetoden” härrör därav, att me-
toden i huvudsak går ut på att beräkna det
närmevärde, som har det minsta möjliga medel-
felet.
S:s användningsområde har under senare tid i
hög grad utvidgats, så att man nu finner mer
el. mindre högt utvecklade tillämpningar därav
på så gott som alla områden, vilka arbeta med
statistiska metoder, över huvud har s. varit av
största betydelse för statistikens teoretiska för-
djupning. En grupp för sig intaga de använd-
ningar av s., som göras i den teoretiska
fysiken, där molekylar- och atomteoriernas ut-
veckling i stor utsträckning skett med hjälp av
sannolikhetsteoretiska metoder.
Bland författare, som väsentligen bidragit till
s:s utveckling, må nämnas J. Bernoulli (1654—
1705), Moivre (1667—1754), Laplace (1749—
1827) och Gauss (1777—1855). — Litt.: H.
Cramér, ”S. och några av dess användningar”
(2:a uppl. 1951).
Sannäs, municipalsamhälle (sedan 1911) i Ta-
nums sn i Bohuslän, vid Sannäsfjorden s. om
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
