Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
omständigheten, att dil hör en stur mängd af de serier,
hvilkas termini generales öro
(1) . . . /*(/i).sin wn och /*(/i).cos wn ;
der f(n) utgör den n:te ibland de positiva termerna.
(2) • • • /(1),/(2),/(3),/(4), &c.
och är så beskaffad att den indefinit aftager vid indefinit
växande n.
Det är ibland dessa serier (i) som belt nyligen en art,
och just den allmännast förekommande, blifvit af Prof.
Halmsten i Kongl. Vetenskaps-Societetens ”Nova Acta” på ett
af-görande sätt undersökt *). På grund af denna undersökning
ör man nu mera förvissad, att serier med termini generales
(3) . . . fOO’ &in ,iw och f(n) »cos/nv
äro convergerande fur hvarje (uppgifven) **) rcel w-valör,
som icke är af formen ±2kn (k helt tal eller noll). Denna
art är för öfrigt > så vidt jag vet, ibland serier af formen (1)
den enda, som hittills blifvit nöjaktigt undersökt.
2. Vid en nyligen företagen undersökning om
Binomial-Theoremcts allmängiltighet, äfven för imaginär exponent i
uttrycket (1+#).J och då x-valörens modyl år enheten, har
det lyckats mig att erhålla en något vidsträcktare ulsigt öfver
de i första raderna af denna uppsats omnämnda seriers gebiet,
#) Nova Acta Reg. Societ. Scient. Upsal. Vol XII: ”Note sur ta
co/i-vergence des Series, p. C. J. Malmsten".
**) Till undvikande af hvarje missförstånd af det följande, är nödigt
erinra oui ett i serie-theoricn högst angeläget försigtighetsraått, men
som icke desto mindre ofta nog befinues åsidosatt, hvaraf ock händt,
att åtskilliga misstag i denna del af analysen äfven i sednare tider
blifvit begångna. Om man nemligen lyckats ådagalägga > att en
serie, hvars termer äro fnnctioner af en qvant. r, är
convergerande (divergerande) för hvarje uppgifven x-valör intill en
viss gräns X,* Ja ma man icke förhasta sig med det påstående, att
seriens convergens (diver gens) fortvarar äfven för x-valörer
i/i-definit nära intill denna gräns. — Blotta denna erinran gör
tillfyllest för att fixera betydelsen af sådana (i efterföljande theoremer
mutande) uttryck som "att en serie är diyergerande för hvarje
positivt x** eller *’för hvarje negativt x’\
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
