Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
362 Om det oändligt stora ocli det oändligt lilla. 364
utan ej ens kan sättas i fråga.
Sedan vi na redogjort för begreppet af ett gränsvärde, så
blir det ej häller någon svårighet att fatta de i sjelfva verket
ytterst enkla definitionerna på de tvänne begrepp, som vi satt
såsom titel öfver denna uppsats:
En oändligt liten qvantitet är en variabel, hvars
gränsvärde är O, d. v. s. den som kan variera hur nära till
0 som hälst och
En oändligt stor qvantitet är en sådan variabel,
som icke har någon öfre gräns, utan kan gå hur högt upp
som hälst i talsystemet.
Om vi nu blott riktigt väl fasthålla dessa båda enkla
definitioner, så kunna vi ur dem draga en mängd ytterst vigtiga
slutsatser.
Först se vi då, att en oändligt stor eller liten qvantitet är
en variabel. Det karaktäristiska för en oändligt stor qvantitet är
därför ej, att den i hvarje punkt är mycket stor, utan blott att
den äger förmåga att växa öfver hvarje uppgifvet tal. Om vi
sålunda finna, att en qvantitet saknar denna egenskap, så kunna vi
på förhand säga, att den ej är oändlig.
Om man t. ex. skulle säga oss, att dropparne i hafvet vore
oändligt många, så kan detta endast vara riktigt, för så vidt man
med en droppe icke menar en konstant qvantitet, utan den kan
blifva hur liten som hälst. Menar man åter med en droppe en
viss vattenqvantitet, likgiltigt om 1 milligram eller f-Q^jj-Q-^
milligram, så är det i sig sjelf omöjligt att dropparne i hafvet kunna
stiga öfver alla gränser, vi veta till och med att om man sätter
några millioner nollor efter en etta, så har man ett tal, som
betydligt öfverstiger dropparnes antal i hafvet, ty så många
droppars vigt öfverstege betydligt jordklotets, om t. ex. hvarje droppe
vägde rsTTDTrou milligram *); och om ett tal, som aldrig kan
komma öfver det nyss bildade, kan man, matematiskt taladt, ej
använda ordet oändligt med mera skäl än om hvarje annat, än
aldrig så litet tal, ty det förra kan lika litet som det senare växa
öfver alla gränser; en helt annan sak är det att det för våra
sinnen kan te sig såsom "omätligt".
Däremot kan man säga, att mellan talen O och 1 ligga
oändligt många bråk, ty bråken ligga där ej en gång för alla
färdiga, utan jag insticker dem allteftersom jag uppdelar intervallet
1 allt mindre och mindre delar, och denna delning kan jag
uppenbarligen drifva öfver alla gränser, ty hur långt jag än kommer,
så kan dock delningen i hvarje punkt tänkas fortsatt.
*) I sjelfva verket fordras härtill blott 37 nollor.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
