Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
362
Om det oändligt stora ocli det oändligt lilla. 368
allmänhet äfven y ett tillskott (positivt eller negativt), jy, som
går mot O, när jx gör det. Om t. ex. funktionen vore
y — x2
och x får tillskottet jyl, så blir tydligen
y + = = + + (Æ)2,
men detta uttrycks limes (för jx = 0) är tydligen x2 eller y
hvaraf synes att lim jy = 0.
Jx = O
Limes för förhållandet mellan dessa båda oändligt små
tillsy
skott när jx går mot 0, d. v. s. lim plägar kallas funk-
Jx =±= o
tionens derivata eller differentialkoefficient och är just det
begrepp, hvarpå hela differentialkalkylen eller infinitesimalräkningen
är bygd. Denna derivata, som således uttryckes med
lim — eller lim / C* + ~/ OO
Jx — o — o
kan i allmänhet bildas genom metoder analoga med dem, genom
hvilka vi förut sökt gränsvärden. Yi inlåta oss ej på dessa
de-duktioner, blott en enda enkel sats vilja vi anföra:
Om funktionen vore en konstant och således i figuren sid.
361 representerades af en med OX parallel rät linie, så vore ju
/ (x + jx) = f (x)
och således /_(x ~t~ -/(x) __ q vare s;~ är
Jx
oändligt liten eller ej; derivatan af en konstant är därföre
ständigt = 0.
Vi vilja nu af derivatans eget uttryck draga några
slutsatser angående dess användning och betydelse inom matematiken.
Om vi antaga, att det tillskott vi gifvit x (d. v. s. jx)
vore positivt, d. v. s. ett verkligt tillskott, så är det tydligt, att
derivatans tecken beror på tecknet hos jy, så att den är positiv
om jy är så och tvärtom. Men häraf följer, att så länge
derivatan är positiv, så växer funktionen när x växer och aftager
när x aftager; en sådan funktion är t. ex. 2 x, hvars derivata
är konstant = 2; men om derivatan är negativ, så är jy
negativ, d. v. s. i detta fall aftager funktionen, när x växer och
tvärtom. En sådan funktion är t. ex. , hvars derivata är–-„,
x x<*
hvilken ju alltid är negativ.
Äfven häraf är det tydligt, att den funktion, hvars derivata
ständigt är O, hvarken till- eller aftager, utan måste vara en
konstant.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
