Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 5 - J. Petersen, Lärobok i elementerna af plana geometrien. Öfversatt af A. Rosén [P. G. Laurin]
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
204 Lärobok i elementerna af plana geometrien.
rationela talen kunna jämföras. Har man visat detta, d. v. s.
definierat de irrationela talen och räkning med dem, så behöfs
ingen proportionslära. Har man ej gjort det, så sväfvar
propor-tionsläran i luften. Nu gör man det i allmänhet ej. Man säger
t. ex,: “om ~ A = -J- B så är A:s förhållande till B = ™; om
ej något gemensamt mått finnes, så kan förhållandet endast
tillnärmelsevis angifvas genom ett bråk; det rätta förhållandet är ett
irrationelt tal“. Eller i fråga om rotutdragning: “kvadratrot är
det tal, hvars kvadrat är = det gifna talet; värdet af \/5 kan ej
fullkomligt exakt uttryckas med siffroy; det kan beräknas med hvad
noggrannhet som hälst så att det beräknade skiljer sig från det
exakta med ett hur litet tal som hälst: |/5 är exempel på ett nytt
slag af kvantiteter, irrationela’. I förra fallet insmugglas sålunda
begreppet irrationelt förhållande ehuru förhållande definierats endast
såsom rationelt. I senare fallet insmugglas begreppet irrationel
kvadratrot på samma sätt. I båda fallen blir det irrationela talet lika
oförklaradt och odefmieradt: det skall vara det “rätta förhållandet"
och den ”exakta kvadratroten”, hvilka enligt defm. på förhållande och
kvadratrot båda äro omöjliga. Att det ”rätta förhållandet” och den
”exakta kvadratroten” äro gränsvärden utsäges ej med klara ord,
lika litet som man från periodiska decimalbråk eller oändliga
konvergenta serier hämtar andra förklarande exempel på hvad en
limes är. Det gäller att räkna med gränsvärden, hvilka likväl ej,
såsom i dessa enklare exempel, kunna skrifvas under annan form
än som oändliga serier. Att grunda denna räkning på
exhaustions-principen, så använd som nu är vanligt, synes mig
otillfredsställande därför att den egentliga svårigheten, det oändliga antalet
termer, därigenom snarare undanskymmes än undanrödjes. Och
en reductio in absurdum kan ej tillfredsställa den som vill förstå,
ej blott medgifva: brist på invändningar kan bero på bristande
insikt.
Med denna frånvaro af definition på irrationelt tal
sammanhänger, att alla räkningar med irrationela tal blifva ofullständigt
eller ej alls definierade. Hvad vi ha att förstå med «. » då p
och v äro irrationela tal, förklaras vanligen ej alls; en förf, säger
att gv är det gränsvärde, hvartill vi närma oss huru nära som
hälst genom multiplikation af deras approximativa värden. Han
aktar sålunda ej för rof/att här tala om gränsvärde. Oklarheten
i definitionerna visas bäst genom förekomsten af satser sådana som
denna: 1 är g äfven då ,« är irrationelt".
Strängt taget blifva alltså de irrationela talen, äfven för den
i våra skolor använda metoden, endast ofullständiga tal. Praktisk
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
