Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6 - Om geometriens principer [Torsten Brodén]
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
230
Om geometriens principer.
Den frågan framställer sig nu helt naturligt: finnes det sådana
punk’system, att en rät linie, som går genom två godtyckliga
systempunkter, hel och hållen tillhör systemet, utan att detta
u’fyller hela rymden?
Finnas sådana system, bör ett sådant, eller åtminstone en del
däraf, tydligen “genereras af en rät linie, som vrider sig kring en
fast punkt och därvid följer en fast rät linie “. Och erfarenheten
visar i själfva värket, att därvid uppkommer ett fullständigt system
af det nämda slaget. Detta (den fullständiga genereringen på det
nämda sättet) är en egenskap, som vid systemets närmare
bestämmande måste uppmärksammas. Men vi förbehålla oSs rättigheten
att i den logiska enkelhetens eller bekvämlighetens intresse uttrycka
den på annat sätt. Hittills har det naturligtvis blott varit fråga
om en anvisning till systemets, mekaniska framställning.
Låtom oss kalla ett dylikt system ett plan och tillse, af hvilka
egenskaper dej, utmärkes förutom den redan nämda, att hvarje rät
linie, som går genom två af dess punkter, ligger hel och hållen
däri. Det ligger nära till hands att söka analogier mellan planets
och räta liniens fundamentalegenskaper. Och vi kunna i själfva
värket uppställa följande satser, som hafva fullständiga
motsvarigheter vid den räta linien.
Hvarje rät linie i planet bestämmer en entydig symmetrisk
ekvivalens, vid hvilken liniens alla punkter, men inga andra,
äro själfmotsvariga.
Tillika bestämma två punkter, hvilka som hälst, entydigt
en dylik ekvivalens, vid hvilken de motsvara hvarandra.
Och den själfmotsvariga linien (“symmetriaxeln") utgör
den fullständiga lokus för lika afstånd från två motsvariga
punkter.
Men dessa bestämningar äro ännu ej fullt tillräckliga. De
medgifva ännu en s. k. “pseudosferisk" geometri. För att utesluta
denna måste vi tillfoga ännu en sats, som vi kunna gifva följande
form:
Den fullständiga lokus för symmetriskt mo’svari ga punkter,
hvilka hafva samma inbördes afstand som två gifna, utgör
två räta linier. (Af denna sats följer i själfva värket, att planet
måste fullständigt genereras af en rät linie, som vrider sig kring
en fast punkt däri och följer en fast rät linie).
Det skall nu visas, att den euklidiska planimetrien framgår
af dessa antaganden.
Mot en rät linie svarar vid den axiala symmetrien
uppenbarligen en annan rät linie, som råkar den förstnämda på
sym-metriaxeln, i fall linierna råkas alls. En linie, som förenar två
symmetriskt hophörande punkter, motsvarar tydligen sig själf.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
