Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6 - Om geometriens principer [Torsten Brodén]
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Om geometriens principer.
231
Vi säga, att den är ”vinkelrät” mot axeln. Tydligen går genom
en punkt utanför axeln en’men endast en mot densamma
vinkel-rät linie. Detsamma gäller ‘äfven om en punkt på axeln; men
detta behöfver bevisas.
Vi visa först, att om en rät linie (B) är vinkelrät mot en
annan A (B l A) så är också A vinkelrät mot B. B bar
tydligen en gemensam punkt (”skärningspunkt”) med A,
nämligen midtpunkten till två på B liggande, med afseende på A
symmetriska punkter. Denna punkt må heta O. Tag på B
två godtyckliga symmetriskt motsvariga punkter P och P1,
samt på A de två punkter B och iS, hvilkas afstånd från O är
lika med OP och således äfven med OPS. Punkterna P och B
bestämma en symmetrisk ekvivalens, hvars axel, då OP— O B,
går • genom O. På samma sätt bestämma S och P en
symmetri, hvars axel går genom O. Vid den förstnämda
ekvivalensen svarar P mot B och alltså., eftersom O är själfmotsvarigt,
linien B mot linien A, samt P1 mot S. Vid den senarè svarar
S mot P, A mot B, B mot P1. Sammansätter man bägge,
fås en ekvivalens, vid hvilken linierna A och B äro
själfmot-svariga, men så att endast punkten O motsvarar sig själf, under
det P svarar mot P1, B mot <9, och således på hvardera linien
två motsvariga punkter hvilka som hälst ligga symmetriskt till O.
Sammansättes slutligen denna ekvivalens med den ursprungliga,
som hade A till symmetriaxel, framgår tydligen en ekvivalens,
vid hvilken hvarje punkt af linien B är själfmotsvarig, samt
linien A sammanbinder hophörande punkter. Följaktligen är A
vinkelrät mot B.
Man inser nu lätt, att genom hvarje punkt (O) på en rät
linie (A) går en mot henne vinkelrät linie. Ty symmetriaxeln
(B) till två godtyckliga med afseende på O symmetriskt belägna
punkter af linien A går genom O, och A är vinkelrät mot B,
alltså äfven B mot A. Men vidare kan genom 0 icke gå mer
än en mot A vinkelrät. linie. Ty funnes flere, skulle omvändt
A vara vinkelrät mot alla, och således två till O symmetriska
M-punkter motsvaras af flere symmetriaxlar.
Vi kunna nu utan svårighet entydigt bestämma läget af
en punkt i planet. Låtom oss taga två godtyckliga mot
hvarandra vinkelräta linier A och B, som råkas i O. På hvardera
linien må vidare tagas en ”1-punkt”, bägge på samma afstånd
från O, som väljes till noll-punkt på bägge linierna. Liniernas
punkter äro då entydigt bestämda genom reela tal. För att
bestämma en godtycklig punkt i planet lägga vi genom
densamma två räta linier vinkelräta mot A och B och skärande
dem i X och Y resp. De tal x och y, som representera dessa
två punkter, tillordna vi den ifrågavarande punkten.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
