Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Tre-Legemers-Problemet
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
Euler; det næste Skridt i Løsningen af
Problemet var Laplace’s Opdagelse af det
invariable Plan ɔ: det Plan, som gør
Summen af Produkterne af Masserne og
Projektionerne af Arealerne til et Maksimum. I
Solsystemet danner dette Plan en Vinkel af c. 2° med
Ekliptikken, og dets opstigende Knude har en
Længde af c. 286°, men da man ikke nøjagtig
nok kender alle Planeters Masser, er disse
Data for Tiden mindre sikre; Jacobi har vist,
at hvis man kender alle Integraler paa 2 nær,
kan disse to altid findes, forudsat at de
gensidige Tiltrækninger kun afhænger af
Koordinaterne alene, og der eksisterer en
Potentialfunktion. Disse Betingelser er altid opfyldte i
n-Legemers-Problemet.
Hidtil er det ikke lykkedes at udlede mere
end de nævnte 10 Integraler. Bruns har
imidlertid vist (Acta Mathematica, XI), at der ikke
eksisterer ny algebraiske Integraler, forudsat at
de rektangulære Koordinater er valgt som
afhængig variable. Dette udelukker ikke
Muligheden af algebraiske Integraler, hvis andre
variable benyttes. Poincaré har paavist (Acta
Mathematica, XIII), at der i T.-L.-P. ikke
eksisterer ny uniforme transcendente Integraler,
selv om Masserne af to af Legemerne er meget
smaa sammenlignet med det tredie. I dette
Teorem er de afhængige variable
Baneelementerne, der undergaar stadige Variationer
paa Grund af Legemernes gensidige
Tiltrækning. Men heraf følger ikke, at der ikke
eksisterer Integraler af Poincaré’s Type, hvis der
benyttes andre afhængige variable. Saaledes
har Levi-Civita paavist Eksistensen af denne
Klasse Integraler i et specielt Problem, som
hører ind under Poincaré’s Teorem, naar
passende variable benyttes. I det hele er den
praktiske Følge af Bruns’ og Poincaré’s Teoremer
ofte blevet overvurderet, idet man ikke altid har
haft for Øje de Betingelser, under hvilke de
holder Stik. Men da man intet ved om
Legemernes absolutte Bevægelse, kun observerer
deres relative Positioner, vil det for Studiet af
Planeternes Bevægelse i vort Solsystem være
en bydende Nødvendighed at referere disse til
Centrallegemet i dette System ɔ: Solen. Man
henlægger da Koordinatsystemets
Begyndelsesgrunde til Solen og integrerer de under denne
Forudsætning opstillede Differentialligninger.
Antallet af Integraler bliver da i Stedet for 6n
i den absolutte Bevægelse reduceret til 6n —6;
men i dette Tilfælde kan kun 4 Integraler
findes, nemlig de 3 Fladeintegraler og den levende
Krafts Integral, hvilket reducerer Problemet
til Ordenen 6n —10.
I sin Almindelighed kan T.-L.-P. endnu ikke
løses, naar alle Masser og alle Distancer er af
samme Størrelsesorden. Om Sundman’s Løsning
af T.-L.-P., se denne. Men i visse Specialtilfælde
af Problemet simplificeres
Differentialligningerne; saaledes naar de tre Legemer altid
bliver i et Plan, idet Legemerne selv og tillige
deres Bevægelsesretninger i et bestemt
Tidspunkt laa i et Plan — det plane T.-L.-P.
Et andet specielt Tilfælde er det restringerte
T.-L.-P. (problème restreint), som lyder
saaledes: Hvis to Legemer A og B bevæger sig i
cirkulære Baner om deres fælles Tyngdepunkt,
kun paavirket af deres gensidige Tiltrækning,
altsaa efter To-Legemers-Problemets Love, da at
bestemme Bevægelsen af et tredie Legeme C
(ofte benævnt Planetoid), hvis Masse er saa
liden, at den kan sættes ud af Betragtning lige
over for de to andre Masser (den perturberer
altsaa ikke Bevægelserne af A og B); det
bliver tiltrukket af begge disse Masser efter
Newton’s Lov og bevæger sig i samme Plan som
A og B. Dette Problem blev først studeret af
Jacobi, senere af andre Forskere, specielt
Poincaré, som forudsatte, at den ene af de to
endelige Masser skulde være meget liden i
Forhold til den anden analogt med Problemerne
om Planeternes Bevægelser, hvor man stadig
har en dominerende Masse (Solen). Man har
bevist, at der eksisterer periodiske
Løsninger ɔ: Banekurven er sluttet. Poincaré har
ogsaa paavist en anden interessant Type af
Bevægelser, de saakaldte asymptotiske
Løsninger. Men den enkleste og tidligste
periodiske Løsning af T.-L.-P. blev fundet af
Lagrange i 1772; denne var ukendt for Jacobi.
Lagrange delte T.-L.-P. i to Dele: 1)
Bestemmelsen af de 3 Sider i Trianglet mellem
de 3 Kloder som Funktion af Tiden, 2) forudsat
at 1) var løst, da at bestemme Beliggenheden af
Triangelplanet i Rummet og Orienteringen af
Trianglet i Planet. For at løse 1) var det
nødvendigt at opstille 3 Differentialligninger, som
indeholdt de 3 gensidige Afstande som
afhængig variable. Han fandt 3 Ligninger, hvoraf
den ene var af 3. Orden og de øvrige 2 hver
af 2. Orden, hvorved hele Problemet blev
reduceret til 7. Orden. De 10 Integraler
reducerer det almindelige T.-L.-P. til 8. Orden.
Lagrange reducerede altsaa Problemet med en
Enhed. Han fandt da, at han kunde integrere
Differentialligningerne fuldstændig ved at
forudsætte, at Forholdet mellem de gensidige
Afstande var konstant. I det Tilfælde vil de
tre Legemer enten stadig danne et ligesidet
Triangel i et fast Plan, eller de vil stadig
befinde sig paa en ret Linie, men denne Løsning
betinger en ganske bestemt Begyndelsestilstand,
og Bevægelsen bliver periodisk ɔ: de tre
Legemer vil med bestemte, nøjagtig lige store
Tidsintervaller stadig og for altid indtage
nøjagtig samme Stillinger i Forhold til hverandre.
Man faar i alt 5 Librationspunkter; de 3 ligger
paa samme rette Linie som de to Masser, og
deres Beliggenhed afhænger af Forholdet
mellem Masserne; de to yderligere danner med de
to Masser et ligesidet Triangel. Lagrange
ansaa dette Tilfælde for rent fiktivt, senere Tider
har ved Opdagelsen af de trojanske
Smaaplanter vist, at der i vort Solsystem findes
en Gruppe Himmellegemer (for Tiden kendes
6), som til en vis Grad svarer til Lagrange’s
Forudsætning, men det fundamentale i
Løsningen af dette specielle Tilfælde har i den senere
Tid dannet Udgangspunktet for de væsentligste
af de Fremskridt, vort konkrete Kendskab til
Bevægelsesmuligheden inden for det
almindelige T.-L.-P. har gjort til vore Dage. Var end
det specielle Tilfælde mindre tænkeligt, laa det
dog nær at forudsætte, at de tre Legemers
Anordning ikke eksakt svarede til de af
Lagrange forudsatte, men dog holdt sig tæt op til
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
