Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Vektor
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
Endepunkt. A + B = R (Fig. 1).
Berettigelsen af denne Fremgangsmaade baseres paa
Erfaringen. Efter denne Regel
sammensættes som bekendt Forskydninger, Hastigheder,
Kræfter o. s. v., og man kan omvendt, sige,
at Størrelser af en vis Art netop
karakteriseres som V., ved at de adderes efter denne
Regel. Ved Additionsreglen er ogsaa
Subtraktion bestemt, idet A—B findes ved til
A at lægge —B, en V. af samme Størrelse som
B, men af modsat Retning. Additionsreglen
udvides let til en Sum af flere V., og man ser, at
A + B = B + A og at (A + B) + C = A
+ (B + C), altsaa at det kommutative og
associative Princip er gyldigt for
Vektoraddition, der ogsaa benævnes geometrisk Addition.
Produktet af to V. bruges i to forskellige
Betydninger, Det indre eller skalare
Produkt af A og B, der betegnes (AB), er en
Skalar (et Tal), nemlig ABcos (AB). (AB) =
(BA). Er A en Kraft og B den af
Angrebspunktet tilbagelagte Vej, bliver det skalare
Produkt (AB) det udførte Arbejde. Det ydre
Produkt eller Vektorproduktet, der
betegnes [AB], er en V., hvis Størrelse er givet
ved ABsin (AB), altsaa er = Arealet af det
af A og B bestemte Parallelogram, og hvis
Retning er vinkelret paa den af A og B
dannede Plan og rettet saaledes, at A, B
og [AB] danner en Højreskrue
(Proptrækker), saaledes at en Drejning fra A’s til
B’s Retning fører frem i [AB]’s Retning (Fig.
2). X-Komposanten af Vektorproduktet, der
betegnes [AB]x =AyBy, — AzBy, og de andre
Komposanter faas heraf ved Kredsbytning i
Rækkefølgen xyzx. Her er [AB] = — [BA].
[AA] = 0. Det distributive Princip gælder
derimod for begge Produkter: AB + AC =
A(B + C). Et Eksempel paa Vektorproduktet har
man i den elektromagnetiske Straaling, hvis
Størrelse i Vakuum er proportional med
Vektorproduktet af den elektriske Kraft E og den
magnetiske Kraft H. S = c/4π [EH], hvor S
er Energistrømmen pr. cm2 pr. Sek. (den
Poynting’ske V.), c er Lyshastigheden. Et andet
Eksempel er en Krafts Moment, Produktet af
Kraften og dens Arm. Vektorproduktet kan siges
at være en V., der fremstiller et Areal, nemlig
det af de to Vektorfaktorer dannede
Parallelogram. Paa lignende Maade kan ethvert Areal
fremstilles ved en V., hvis Størrelse er lig
Arealet, og som udgaar fra Arealets
Tyngdepunkt vinkelret paa dette i den Retning, der
bestemmes ved Højreskruen, idet der fastsættes
en bestemt Omløbsretning i Arealet.
Vektorproduktet er et Eksempel paa en V. af anden
Art end de i Indledningen nævnte Eksempler.
Disse, der kaldes polare, bliver uforandrede,
dersom Koordinatretningerne skifter Fortegn,
saa at man gaar over til et Venstresystem,
hvorimod Vektorproduktet derved skifter
Fortegn; V. af denne sidste Art kaldes aksiale.
En aksial V. er f. Eks. den, hvormed en
Rotation fremstilles, dens Længde er lig
Vinkelhastigheden og dens Retning parallel med
Rotationsaksen i den Retning, der bestemmes ved
Højreskruen.
Foruden Vektoralgebraen er der udviklet en
Vektoranalyse. De vigtigste ny Begreber,
den indfører, er følgende: Et Vektorfelt
er et Rum, hvori der til ethvert Punkt hører
en V. Eksempler herpaa er Tyngdefeltet, et
elektrisk eller et magnetisk Felt, en
strømmende Vædske (hydrodynamisk Felt) o, s. v. Et
skalart Felt er defineret paa analog Maade;
Eksempel herpaa er et Temperaturfelt. I det
elektriske Felt (og ogsaa i Tyngdefeltet og det
almindelige magnetiske Felt) har hvert Punkt
et bestemt Potential, saa at det ogsaa er et
Skalarfelt. Gradienten af en Skalar φ, grad
φ (ogsaa ∇φ, »Nabla« af φ), er en V. med
Komposanterne δφ/δx, δφ/δy, δφ/δz; grad φ falder
altsaa i Retning af den største Variation af φ.
Eksempel: Den elektriske Kraft = —grad P,
hvor P er Potentialet. Divergensen af A,
divA (ogsaa ∇ A), er en Skalar, idet divA =
ðAx/δx + δAy/δy + δ Az/δz . Eksempel: Hvis E er
den elektriske Kraft, betegner divE det Antal
Kraftlinier, der udgaar fra et Rumelement,
divideret med dette. Rotationen af A, rotA
(eller curlA), er en V. med x-Komposanten
rot A = δAz/δy — ðAy/δz og de analoge, der faas
ved Kredsbytning. Eks. rot E betyder det
Arbejde, der udføres af den elektriske Kraft, naar
en Elektricitetsenhed omkredser et
Arealelement vinkelret paa rot E’s Retning, divideret
med Arealelementet. ∆ A (eller ∇2A) =
divgrad φ. ∆ A (eller ∇2A) = grad (divA) —
rot (rotA). Et Vektorfelt, hvor overalt rotA er
0, kaldes hvirvelfrit; et saadant kan altid
fremstilles som Gradienten af et Potential. Et
Vektorfelt, hvor overalt divA er 0, kaldes kildefrit
eller soleonidalt, det kan fremstilles som
Rotationen af en kildefri V.
Vektorregningen, der bygger paa R. W.
Hamilton’s Kvaternionregning (1843) og H.
Grassmann’s Udvidelseslære (1844), er især udviklet
af O. Heaviside og J. W. Gibbs. Stødet til dens
almindelige Anvendelse har særlig
Faraday-Maxwell’s Behandling af Elektricitetslæren
givet. Den betinger en overordentlig ikke blot
 |
| Fig. 1. Vektorsum (geometrisk Addition). A + B = R. |
 |
| Fig. 2. Vektorprodukt. |
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
