Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Geometri
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
en anden, der er Centralprojektion af den
første. Det maa altsaa afgøres, dels hvilke
Figurer der kan være hinandens
Centralprojektioner (er projektive), dels hvilke Egenskaber der
kan overføres. Samtidig med Projektionen
udvikledes ogsaa de reciproke Polarers
Metode af Brianchon og Poncelet,
Dualiteten, navnlig af Gergonne, og
Homologien (Poncelet). Chasles og Steiner gik
en noget anden Vej ved deres Undersøgelser af
Keglesnittene, idet de definerede dem f. Eks.
som geometrisk Sted for Skæringspunktet
mellem til hinanden svarende Linier i
projektive Liniebundter. Paa de Sætninger, som man
kan udlede ved at støtte sig paa disse
Definitioner af Keglesnittene, kan baade Projektion
og Dualitet anvendes. De nævnte Matematikere
gav lignende Definitioner paa andre Kurver,
baade plane og ikke plane, og paa Flader; en
vindskæv Hyperboloide vil saaledes være det
geometriske Sted for Forbindelseslinieirne mellem
til hinanden svarende Punkter i to projektive
Punktrækker, der ikke ligger i samme Plan.
Medens Projektivgeometrien alm. bruger
Længder i Definitionen paa Dobbeltforholdet,
der anvendes ved Afgørelsen af, om f. Eks.
Punktrækker er projektive, undgaar »G. der
Lage«, grundlagt af v. Staudt (1847), der ogsaa
er støttet paa Projektiviteten, al Benyttelse af
Maal. Som i analytisk G. betragtes her ogsaa
imaginære Punkter, Linier og Planer, kun
naturligvis med andre Definitioner. Analysis
situs, der første Gang fremtræder som
selvstændig Disciplin i Listing’s »Vorstudien zur
Topologie« (1847), beskæftiger sig med visse
Egenskaber ved Figurer, hvis Kurver og Flader
ikke er bestemt definerede som i de nys omtalte
G., mener fuldstændig vilkaarlige.
Samtidig udvikledes ogsaa den analytiske G.
videre. Man lærte at reducere de algebraiske
Vanskeligheder ved en Opgaves Løsning
betydelig, navnlig ved Metoder af Plücker og Lamé. Et
stort Fremskridt var Indførelsen af Möbius’
og Plücker’s Trekantskoordinater (se
Koordinater); en ved Hjælp af disse bevist Sætning
vil kunne underkastes den dualistiske
Omformning og vil gælde for enhver Centralprojektion
af den forelagte Figur, medens et ved
retvinklede Koordinater ført Bevis kun gælder for det
System af ligedannede Figurer, som man faar
ved forsk. Valg af den Enhed, hvori
Koordinaterne er maatte. Medens man oprindelig kun
havde anvendt Koordinater til Punkters
Bestemmelse, indførtes nu Koordinater for andre
Rumelementer som f. Eks. Plücker’s Koordinater for
Rummets Planer og dets rette Linier,
Koordinater for Cirkler og Kugler m. m., og man
anvendte disse Koordinater til Undersøgelse af
Systemer af de paagældende Elementer. —
Den nyere analytiske G. har særlig undersøgt
de algebraiske Kurver og Flader ɔ: de, der i
Punktkoordinater fremstilles ved algebraiske
Ligninger, og har for dem bevist almindelig
gældende Sætninger. Af disse kan fremhæves de
Plücker’ske Ligninger mellem en Kurves
Orden, Klasse, Slægt og Antallet af dens
Dobbeltpunkter, Spidser, Dobbelttangenter og
Vendetangenter (se Kurver). De her nævnte Tal
benyttes som Inddelingsgrundlag for Kurverne
i Antalgeometrien, der i sine
Opgaver kun bruger Ligningernes Grader og
som Løsninger faar Antal, hvilke altsaa, for
saa vidt der spørges om en Kurve, kan definere
denne. Antalgeometrien, der ogsaa er udvidet
til Rummet, er væsentlig udviklet af Plücker,
Cayley, Chasles, Jonquières og Zeuthen.
Spørgsmaalet om algebraiske Kurvers Udseende, med
hvilket allerede Newton beskæftigede sig, er
blevet behandlet af Klein og Zeuthen. Den
meget omfattende geometriske Metode: at
transformere en Figur, hvoraf
Projektionen er et specielt Tilfælde, og som bestaar i
at danne en anden Figur, hvis Punkter paa
bestemt Maade svarer til den forelagtes, for at
overføre Sætninger fra den ene til den anden,
er ogsaa blevet udviklet gennem den
analytiske G., særlig af Cayley, Cremona, Klein og
Lie (se Transformationer). Hvis nogle
geometriske Figurer overføres i hinanden ved
en Gruppe Transformationer, kan man, saa
længe der er Tale om Egenskaber, der bevares
under Transformationerne, indskrænke sig til
at behandle en enkelt, særlig simpel af
Figurerne. Ved de lineære Transformationer
bevares de samme Egenskaber som ved
Projektion; algebraiske Kurver, som gaar over i
hinanden ved Cremona’s entydige
Transformationer, er af samme Stegt og kan i de vigtige
Spørgsmaal om Punktgrupper paa dem
behandles under eet.
I den ældre G. tillagde man Punkter og
Linier paa en Tegning de Egenskaber, som de
iflg. de abstrakte Definitioner i Eukleides’
G. skulde have, idet man f. Eks. saa bort fra,
at et Punkt paa Tegningen har en vis
Udstrækning. Denne Ukorrekthed har man i den
senere Tid taget Hensyn til ved at danne en
Virkelighedens G. (Klein, Pasch,
Hjelmslev), der opererer med de Punkter, Linier,
Planer, som frembyder sig paa virkelige Genstande,
og benytter de Egenskaber hos dem, som de
erfaringsmæssigt har. Det maa saa undersøges,
inden for hvilke Grænser man kan anvende den
teoretiske G. paa dem. Den analytiske G. kan
betragtes som en ren aritmetisk Disciplin,
der omhandler Grupper af to ell. tre Tal
(Koordinaterne), hvilke Grupper kaldes Punkter; ved
den nærliggende Udvidelse til Grupper af n Tal
har man skabt den saakaldte G. med n
Dimensioner (Segre) (se Dimension). Ligesom
man i den nyere Funktionsteori tager Begrebet
Funktion i videste Forstand, betragter man i G.
ikke-analytiske Kurver og Flader, der f. Eks.
foreligger tegnede og er underkastede visse
Betingelser. Hjelmslev har i »Darstellende
Geometrie« (1914) givet Beviser for Sætninger af
Kurvers og Fladers Infinitesimalgeometri, der spec.
gælder for de analytisk fremstillelige Kurver og
Flader, men i øvrigt omfatter et langt større Felt.
Udseendet af ikke-analytiske Kurver og Flader
er blevet studeret af Möbius, v. Staudt,
Kneser o. a.; Juel har indgaaende undersøgt
saadanne Kurver og Flader af de lavere Ordner
(Orden = det højeste Antal Skæringspunkter,
som Kurven ell. Fladen kan faa med en ret
Linie) og vist, at forsk. Egenskaber ved
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
