Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
om lösningar med vågkaraktär måste man dock
vanligen tillgripa andra metoder, främst
serieutveckling av operatorn.
Exempel 2. Spole med konstant emk (fig. 1).
B
Vo
= v4 +
Vo
B + pL B
som förut
(ä + pii = 0;
Pi-
B
nr
T,
■ L
Vo
B
F(p)
fe
->.t
.h(t)} =
-lit
F(p- l)-h(t)
Exempel 3. Samma problem som i exempel 2.
Vi skriva operatorlikheten i något annan form:
i a . _ Vo B
. = : io — ^, a — t’
i„ p + a’ B: L
Med hjälp av förskjutningssatsen finna vi samma
lösning som förut.
io
p + a
•1 = .
-at I
T
at
-—at t at
e fe
p + a
d(at)= 1 -
1 = e
-at a at
• — e
P
-at
Exempel Jf.
i a
io p + a
a
~ P
alP
1 + ajp
v \
a a2
p pl
■........)
a2 o3
pl p3
= at
J2
a212+«
13
= 1-
+ i + l +
lim laa ,
Däremot är för fixt n och variabelt t
^ tnl
\f(t)-
lim tn
f> 00
så att differensen mellan / (t) och de n
a,
a0+i +
+
■ 1 första ter-
merna i serien går mot noll snabbare än
t"
då t
och de n -f-1 första termerna är mindre än den
(n + 2) :a termen. En sådan serie är trots sin
diver-gens mycket användbar för numeriska beräkningar.
Exempel 5.
1
p p2
1-^ +
= 1
p + a 1 + pja ’ a ’ a2
I enlighet med Heaviside ha vi här strukit alla hela
positiva potenser i p. Det med hjälp av denna allmänna
regel erhållna resultatet 1 utgör i själva verket en
asymptotisk utveckling av den tidigare funna exakta
lösningen
»o
1- e
3. Operatorn kan genom användning
av operatorkalkylens satser
överföras i interpreterbar form.
De olika operatorsatserna utgöra ett annat viktigt
instrument. Vi ta som exempel den bekanta
förskjutningssatsen
Exempel 6. Beräkna spänningen i en godtycklig punkt
av en induktionsfri kabel, som anslutes till en konstant
emk Vo (fig. 9).
V.
7
(r.c)
V —OO
-4-
x=o
Fig. 9. Till exempel 6.
På avståndet x från kabelns början få vi
v = v„-e~rx
varvid fortplantningskonstanten y = \Jr- p c, så att
y x = a\Jp med a = \/x2rc
Alltså
v _
Vo ~
—Wi
= 1
a2 as ,—
ürP — ia P VP +
4. Serie för små t, utveckla på stora p.
Mycket ofta erhåller man för numeriskt bruk
lämpade lösningar genom serieutveckling. En serie
lämpad för små t erhålles genom att utveckla operatorn
i en serie, som konvergerar för stora p.
Här stryka vi de hela potenserna i p och interpretera
de brutna.
v a as 1
— = 1–1= + –––––––––- -
®o \Jllt UL
1 / cfi 1 . a5 1
= 1 ■
/ w
( B
2 t\Z^rt
3 —4
41 5j2’(4 t)2 +
s[nt \ 311
Denna serie utgör en för alla t > O konvergent
serieutveckling av den exakta lösningen
v
Vo
11 ix2rc\
l V tf)
afl | <P(x) = felfunktionen
• du
5. Serie för stora t, utveckla på små p.
Genom att utveckla operatorn i en serie, som
konvergerar för små p, får man en serie i t, som någon
gång är konvergent (exempel 6 nedan). Mestadels
erhålles dock en divergent serie av asymptotisk
karaktär. En dylik serie
†{t) = a 0 + -i+ ......
är visserligen divergent för alla t, så att för fixt t
och variabelt n
1 — ø
fa
o
Exempel 7. Sök den asymptotiska utvecklingen av
Jo|^j, där Io = Bessels nollfunktion av första slaget
med imaginärt argument.
För I0 gäller operatorlikheten
Vi> + i
Genom utveckling av operatorn
få vi
t 1
2 - lo
(I)
potenser på \lp
2-Ic
(I) =v^(l + p) f+|i»2—••)
och genom interpretering och multiplikation med
+
12.32
41 ’ [2(4 t)2
+
I många fall kan man visa, att skillnaden mellan f (t)
Denna serie är divergent, men asymptotisk.
6. Reciprocitetssatserna.
I operatorkalkylen råder en viss reciprocitet mellan
p och t, i det att operatorns egenskaper för små p äro
20
5 febr. 1938
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
