Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
till en ideell kondensator, som upptar laddningen 1
från en direkt ansluten konstant emk (fig. 12).
Laplace-transformationen.
Vi ha tidigare funnit, att man, för att få den för
ett problem karakteristiska operatorn har att i
d
problemets ekvationer rent formellt sätta p — —,
1 *
— = f dt. Denna operation kunna vi nu mindre
for-P i
mellt uppfatta som en övergång från de ursprungliga
• i*Cv.-<S(1)
V’ T
-4.
Fig. 12. Ideell kondensator
med konstant emk.
integro-differentialekvationerna till motsvarande
operatorlikheter. Tag t. e.
di „.
L- + m = v0
Genom att införa
di
få vi
och
i{t) = J{v),-dt=p-J{P)
J(p).{R + pL} =
i(t)*=J(p) =
R + pL
Skillnaden från den äldre uppfattningen är uppen-
d
bar. p "betyder" ej längre —, utan är en komplex
Oj i
variabel, vi gå så att säga över från ett i-språk till
d i
ett ^-språk. Härvid gär Ut) över i J(p), - - i p-J{p).
Cl i
Denna övergång är, om man så vill, resultatet av en
Laplace-transformation av den ursprungliga
differentialekvationen, erhållen genom multiplikation med
00
]e-P*...... dt.
o
Detta är van der Pols utgångspunkt. Han håller
strängt på att det rör sig om en övergång från ett
i-språk till ett p-språk och anser att
operatorbety-d
delsen p — —- helt skall undvikas. Han betecknar
d t
därför i stället sin metod som "symbolisk kalkyl".
Enligt mitt förmenande är dock operatorbetydelsen
hos p av stort värde vid praktiska räkningar, och
som jag sökt visa, kan den också infogas i en sträng
framställning.
På senare år har den tyske matematikern Doetsch
ingående behandlat Laplace-transformationen och
dess användningsmöjligheter.1 Doetsch har alltid
ställt sig mycket avvisande gentemot operatorkal-
i Se hans sammanfattande arbete "Theorie und
Anwen-dung- der Laplace-Transformation", Berlin 1937.
kylen. Men detta hindrar ej, att hans resultat utan
vidare kunna tillgodogöras för operatorkalkylens
räkning — vi ha blott att tolka dem på
operator-språk.
System som ej starta från vila.
Hittills ha vi endast betraktat system, som äro i
vila intill t — 0. Men särskilt vid icke-elektriska
problem har man ofta begynnelsevärden, som äro
=‡= 0. Yi måste då något modifiera vårt förfaringssätt.
Antag t. e. i (0) + 0 (fig. 13). Då är p-J (p) ej en
d i
begränsad operator och svarar ej mot —. Däremot
blir i allmänhet p [7 (p) — i (0)] begränsad, så att
d
p[J(p)-i(0)] = Tt[i(t)-i(0)]
eller
d i
dt
= p\J(p)-i(0)]
Fig. 13. Till system med
begynnelsevillkor.
-pn-J(p) —
Generellt finner man
dni
dtn~~
— lp«.i(0) + pn-1.i’(0)+...+p.
Vi kunna också skriva
Ån–i)
(0)]
p-J (p) = i( 0) • <5 (t) +1 (t)
och
J(p)=&\t)+i( 0).
i (»-i)
(n-1)
(0 )-å(t)
Dessa uttryck kunna tolkas så, att vi ha rätt att
d
sätta -j^—p, blott vi också derivera språnget vid
t — 0.
Särskilt vid mekaniska problem kan man ge en
åskådlig tolkning av de nya termer, som vi här fått
in. De kunna sägas representera stötkrafter, som man
sätter till för att få de rätta begynnelsevärdena, trots
att systemet startar från vila. Därigenom får man
d
rätt att sätta — = p.
Reciprocitetssatserna. Serieutvecklingarna.
Vi skola vidare tala något om den reciprocitet
mellan p och t, som kommer till synes i
reciprocitetssatserna och i serieutvecklingarna. Vi få genast
mekanismen i denna reciprocitet klar för oss, om vi
göra en enkel variabeltransformation i
Bromwich-Wagners integral. Vi sätta q — pt och få då
Ct + j 00
h
2 jz 7 J q \t!
ct—jæ
Här se vi, att om t är liten, så blir — stor längs
integrationsvägen. Värdena på h (t) för små t bli
därför bestämda av värdena på H [p) för stora p.
Samma resonemang gäller för stora t och små p
längs större delen av integrationsvägen. Gå vi till
limes i->0, resp. t-+co, så återfinna vi
omedelbart reciprocitetssatserna. Denna härledning utgör
dock intet strängt bevis, ett sådant fordrar att vi
gå försiktigare tillväga. Vi finna då, att
reciprocitetssatserna endast gälla, om operatorn pålägges
24
5 febr. 1938
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
