- Project Runeberg -  Teknisk Tidskrift / 1938. Väg- och vattenbyggnadskonst /
126

(1871-1962)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

Teknisk Tidskrift

Om på högra sidan i stället för integralen stått en

summa av termer, hade man på vanligt sätt kunnat
söka partiallösningar motsvarande varje term och

därefter erhållit allmänna lösningen genom
summa-tion. Nu är ju integralen gränsvärdet för en summa,
och vi betrakta därför motsvarande ekvationssystem

men med högra sidan —— t(f)e
2 71

i a (x — S)

Enligt van-

liga metoder har man då att för $ och A ansätta
motsvarande exponentialfunktioner i x, vilka
dessutom skola vara biharmoniska.
Sätt alltså

$ == &l(Z)eial-x-&+ay + $i{g)eia(-x-*)-av-+ <Z>3 (£)y eia(-x~s)+ay + <Z>4 (f) y e’"^-»-"^
A = A1(£)eia(x-s>+ay + A2(£)eia(-x~s)-ay + A3 (£) y eia(-x~^+ay + At (£)y eia(-x~S)~ay\ "’ (4)

Dessa satisfiera ekv. (1) om

fi fi
och giva, insatta i ekv. (3)

fi a + fia<P2 — fi a i A1 -j- /j, a i A2 = –r (i)

4 a n

— fi a + fi a <P2 + (A -f fi) <P3 -f (A -f fi) -f fi a i A1 + fi a i A2 — 0

, as — a/i ^ , T ^ + ß , \ « ,, , , T «A

a(ø + 2^a) ean — a (ø — 2 fi a) é~ah $2 + £

al

+ + — 2a(A + ^a/i]e-^ a(a + 2 fid)eah iA^a[a— 2iMa)e~aA«,42 = 0

Dessa fyra ekvationer skola bestämma de sex
obekanta <P2, och A2. Som synes äro
koefficienterna för och i desamma, liksom även
koefficienterna för $1 och —i A1 äro lika. Det till
synes underbestämda problemet kan lösas genom att
göra en av de två storheterna 4>1 eller A1 samt
eller A2 lika med noll. Man övertygar sig lätt oin
att det är godtyckligt huru detta val göres. Den
skenbara obestämdheten beror därpå att
uppdelningen av ett vektorfält i en virvelfri och en källfri
del icke är entydig.

Vi sätta alltså A1 — A2 = 0. Ekvationssystemet (5)
kan då lösas och ger

t (i) à01



etc.

där

A^ ^l + fi){l + 2 fi) [-1 — 2 a A -f- e—2aA] o a fi[X fi)2 [l
^#2= g + + 2 rf [l — 2 a A — e2ah] a + a fi (2 + fif [l
-A*3= g afi{X + 2fi)[— 1 + e-2aÄ] ö + aV2 + ^ [l + 2 a Ä - e~2aA]
Aøi= * a fi ß + 2 fi) [— 1 + e2aA] a -f a2 /x2 (2 + ju) [— 1 + 2 a A -f- e2aA]
A^ fia2(X + fi)(Å + 2fi)[4ah + e2ah— e~2o!A] ø + 2/M2a3(A + ^a)2 [—2

+ 2aA + 2a2 A2——2aA]
aÄ + 2a2 A2 — e2aA]

,4a2A2 + e2aA+ e~2aA]

(6)

126

26 nov. 1938

Härmed äro partiallösningarna för
potentialfunktionerna <I> och A funna. Verkliga lösningen bör vara
summan av dessa. Man erhåller alltså för
förskjutningarna enl. (2) och (4)

+ 00

u(xy) = - j j’i^ {a zf^ e"» +
aA92e~ay-— 00

\ fi fi /
+ ^ _ X + ß ay j ^ eia(,-« da dS

+ 00

v {xy) =z~j j ’2S la zUl a e~" +

— 00

+ (l + a y) Aøi e-a« } da d£.

Vi skola nu införa villkoret att skiktet på översidan
påverkas av en punktformig tryckbelastning, vilken
antages angripa i origo. Funktionen z(£) är alltså
noll överallt utom inom ett litet område kring origo.
Detta område låta vi gå mot noll under det r(f)
samtidigt växer så att

+ C0

fr(i)di = -P.

—00

Då kan i ovanstående uttryck för u och v
integrationen med avseende på £ utföras4 och man får t. e.
för v

i Det är tydligt att metoden är användbar även om också
tangentiella krafter verka i övre ytan. I så fall kommet
andra ekv. i (3) och (5) att innehålla ett högra led.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Fri Oct 18 15:36:16 2024 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/tektid/1938v/0130.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free