Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 11 ½. 23 mars 1939 - Relativitet, massa och energi i samband med den nya kärnfysiken, av O. Klein
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
där p betecknar partikelns rörelsemängd. Vi se att
(6) har just denna form, om vi sätta
= , m°" (8)
]/l-M2/C2
ett uttryck, som övergår i den vanliga definitionen på
rörelsemängden, när m2/c2 kan försummas i
förhållande till enheten. Definitionen (8) liksom ekvationen
(7) gäller f. ö. inte blott i det här betraktade enkla
fallet utan helt allmänt, ifall man blott tillfogar det
villkoret att rörelsemängden, som ju är en vektor, har
samma riktning som hastigheten, samt att ekvationen
(7) gäller för varje komponent av rörelsemängden, om
man på dess högra sida skriver motsvarande
kraftkomponent.
Multiplicera vi bägge sidor av (7) med u, erhålla vi
på höger sida det arbete, som kraften K uträttar per
tidsenhet. Enligt energiprincipen bör detta vara lika
med ändringen per tidsenhet av partikelns
rörelseenergi E. Om vi uppfatta E som funktion av
rörelsemängden p, har man sålunda
« = dr <®>
dp
en relation, som kan betraktas som rörelseenergiens
definition, så snart sambandet mellan u och p är givet.
På grund av (8) erhåller man nu
cp dE
c*+ ß ~ d I>
u =
eller integrerat
E = JI m2 c2 -)- p2
(10)
där vi ha fastlagt den godtyckliga
integrationskonstanten så att E för p — 0 är lika med m0c2, ett val,
som, oaktat det avviker från bruket i den vanliga
mekaniken, har visat sig vara mycket ändamålsenligt.
Vi kunna naturligtvis även uttrycka E som funktion
av u. En enkel räkning ger
E=>7r4. (11)
yl—u jc2
Vid första påseende liknar detta uttryck knappast det
vanliga uttrycket ^ m0u2 för en partikels
rörelseenergi, men betraktar man formeln litet närmare,
framträder sambandet. Om u2/c2 är ett litet tal,
kunna vi nämligen utveckla \ i en snabbt konver-
Vl — u2jc2
gerande potensserie i w2/c2:
1 i,1m2 3 M4
= 1 4-___J_____
2 c! † 8 c4 ’
yi—u2/c-
vilken ger oss
E — m0 c2 -J- 9 mo m2
3 M2, \
(12)
Den första konstanta termen i denna serie motsvarar
det ovannämnda valet av den godtyckliga
integrationskonstanten i (10). Den andra termen ger den
vanliga rörelseenergien, medan de följande termerna
innehålla relativitetskorrektioner, vilka äro
omärkligt små, när u2/c2 har den vid våra vanliga
erfarenheter förekommande ringa storleksordningen.
I den vanliga mekaniken kan man definiera mas-
san som förhållandet mellan rörelsemängden och
hastigheten. Bibehålla vi denna definition i
relativitets-mekaniken, och beteckna vi den sålunda definierade
massan med m, få vi enligt (8)
m = °–(13)
|/l — w2/c2
vilket är den kända formeln för massans beroende av
hastigheten. Enligt (11) få vi därur följande enkla
uttryck för energien
E = mc2 (14)
Enligt formlerna (10) och (14) gäller nu att m2 c2 —
— p2 är oberoende av koordinatsystemet. Detta
uttryck är ju nämligen lika med m?0 c2. Denna egenskap
hos uttrycken för energi och rörelsemängd påminner
starkt om den invariansegenskap hos
Lorentzformler-na, som uttrycker att ljushastigheten är c i alla
koordinatsystem, nämligen x’2 — c21’2 — x2 — c212
oberoende av koordinatsystemet. Man visar också
mycket lätt att m och p vid en Lorentztransformation
transformeras lineärt och homogent på samma sätt
som t och x, nämligen
Vi
m—
m’
p — vm
VT-
(15)
-V21 C2 ]/l — v21 c2
Dessa egenskaper hos rörelseenergien och
rörelsemängden skulle icke ha framträtt så enkelt, om man
hade valt integrationskonstanten i (10) på ett annat
sätt.
Vi tänka oss nu, att en godtycklig kropp eller ett
system av kroppar under någon tid befinner sig i
växelverkan med vår elektriska partikel, så att ett
utbyte av energi och rörelsemängd äger rum. Enligt
lagarna om energiens och rörelsemängdens konstans
gäller härvid att kroppens energi- och
rörelsemängdsökning under tiden i fråga måste vara lika med
motsvarande förluster för partikeln, och detta måste
enligt relativitetspostulatet gälla i alla koordinatsystem.
Följaktligen måste skillnaderna i energi och
rörelsemängd för två godtyckliga tillstånd hos kroppen
transformeras på samma sätt som sådana skillnader
för en partikel, nämligen enligt formlerna (15), vilka
på grund av deras linearitet och homogenitet lika väl
gälla för sådana skillnader. Vi ha härvid tänkt oss,
att man även vid en godtycklig kropp betecknar
energien dividerad med c2 med m. Man kan nu visa — av
utrymmesskäl gå vi icke in därpå — att man alltid,
när dylika transformationsformler gälla för
skillnaderna i energi och rörelsemängd för två av kroppens
tillstånd, kan välja energiens (och rörelsemängdens)
nollpunkt så, att formlerna (15) icke blott gälla för
sådana skillnader utan för energien och
rörelsemängden själva.
Därmed ha vi kommit fram till den Einsteinska
utvidgningen av lagen om massans oförstörbarhet. Vi
tänka oss nämligen att en kropp har energiinnehållet
E0 — m0 c2 i ett koordinatsystem, vari den vilar,
varvid energien må vara normerad på det omtalade
sättet. I ett koordinatsystem, där samma kropp har
hastigheten u i den positiva æ-axelns riktning, har
man nu enligt (15)
E„
m„ u
-.–––-, p = -.—
Yi—u2jc2 yi—u2ic2
(16)
140
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
