Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 24. 13 juni 1942 - Problemhörnan
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
Undersöker man de båda så erhållna geometriska
serierna
a; aqt; a<h2; ...
&; &<?2; • • •
befinnes det att bägge satisfiera den givna
rekursions-formeln
Un — 1 + Un = U„ + 1 (2 a)
något som även är fallet med summaserien
a + 6; aq± + hq-2; aqr2 + &&>2 ... (3)
För den givna talseriens två första termer gälla sålunda
identiteterna
aqi + W2 — 1
agi2 + Ö<7-22 = 1
varav
1
a=—=
\f5
1
& = —
\/5
Talseriens ra:te term blir sålunda enligt (2), (3)
och (4)
-Ätm-mj
Uttrycket kan även enl. binomialteoremet skrivas
Un ■
[(?)+(;)•+(:)’+(?)»+-]
Eftersom i (5) termen
snabbt går mot noll blir för stora n
w« \
Sålunda är exempelvis
«io S (1,6180)™ = 55,0
V/5
Denna lösning har kombinerats av inlägg från sign.
ög, civ.-ing. I. Weibull och S. Sundén.
Sign. Oq har löst uppgiften med användande av s. k.
genererande funktion. Om allmänna termen är w„ kan
man sätta
2 Un Zn
n — 0
varvid för un gäller det givna villkoret
Un + t — Un + 1 — U„ = 0
(?)
(8)
Eftersom
och
f(z) — uo — u, z %
z n—0
f Iz) — Mo <£
–- = Z Un + 1 2"
Z 71 = 0
erhålles med hjälp av (8)
/— U0 — Wi Z f — Uo
■†= 0
†{z) = –– „ = 2 zr(l + ey = 1 + t + 2 + 31* + .... =
1—2 — zl ,.=0
’1"1 ö
v = l /i = 0
(10)
Betecknar man med
[Yl~\ fi 71 I 1
- talet — (ra jämnt) resp. ^ (« udda)
2 J 2 4
erhålles efter byte av summationsordningen i (10)
un
1 [n — i’)
au
(4)
Sign. C—y har behandlat uppgiften på ett sätt som
skiljer sig något från metod nr 1 härovan. Det
påpekas i samband härmed att det tal, till vilket seriens
kvot tenderar, är gyllene snittets. Dessutom visas, att
seriens summa kan skrivas
I Un = U„ + 2 — 1
n — 1
(12)
(5)
(6)
Slutligen härledas ytterligare ett par intressanta
re-kursionsformler ur (8) nämligen
Un+fi — 1 = tinu,, + un-lU/t—i (IS)
och sålunda för fi — n
U2n-1 = u2n + u’n-1 (14)
Hrr R. Svensson och S. Fridén, C. T. H., ha angripit
uppgiften på följande sätt:
Utveckla termerna i ekv. (2 a) i Taylors serie. Då
erhålles
~ u (re) = u’ (n) + ^ u"’ (ra) + .... —
Karakteristiska ekv. till denna diff.-ekvation blir
Men då
erhålles
1 1 ea — e — <*■
"+3I*’ + 5] «* + •■••=–2-
ex — e—<* = 1
., , 1 l±\/5
Sättes e<* = z blir 1 = z –-, varav 2 =–—
z 2
. 1 + \J’5 . 1 - V/5
’• «i = log—g—; = log —
Lösningen till diff.-ekvationen sålunda
«(«) = « e"1" + 6 e112 "
dvs.
Innan sommarvärmen på allvar sätter in skynda vi
att införa en uppgift vid vilken det gäller att välja
beteckningar på sådant sätt, att räkningarna ej bli för
långa eller oöverskådliga:
Uo + (Ui — Mo) Z
1 — z — z*
(9)
Sättes Mo = Mi = 1 ser man, att koefficienten för /(z)
i (7) just ger den givna serien. Det återstår blott att
finna den generella termen i utvecklingen
Problem 10/42: Med en given mängd lera skall
framställas en blomkruka i form av en stympad kon
med konstant godstjocklek i sida och botten. Beräkna
krukans proportioner under villkoret att volymen är den
största möjliga. Godstjockleken anses vara liten i
förhållande till övriga mått.
308
20 juni 1942
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
