Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 29. 17 juli 1943 - Tillämpning av Fouriers integralsats för lösning av linjära partiella differentialekvationer av andra ordningen, av Owe Berg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
Om P(t) = o för t < o och för t > t, fås i stället
. 2n†l x
sin-—-— n —
JLå
u (x, t) =-"! f T (- D"–f
n E j ^ 2n † 1
c(— ff)dff
o n = o
. 2 n + 1 n
sin
2 L
för t < r
och
u(x, t)
4cPf y (-ir"" 2
7iE J L k ’ 2 n + 1
. 2n + 1 x
sin-Jl y
2 n + \n . . ,
sin–—j c {t — ffjdtf
J JLj
Fig. 3.
En partikulär lösning till differentialekvationen är
Uf iux ivz vi*’ + > +v’y
U2 = e e e e *
iux irz Hy + v’ -)- t
ui=e e e e
Härav fås den allmänna lösningen
+ 00
för t > r
Den förste integralen (t > r) överensstämmer helt
med den tidigare beräknade. Den senare
integralen (t > t) ger
u (x, t) ■-
-^{f[c (t - t) + *] - /[c (/ - t) - r]-
— f(ct + x) + f{ct-x)}
Härur fås t.ex. kraften på ytan x—o
fict + o]-fHct-o)
Fig. 2 a visar den tillförda kraften P(t) och fig.
2 b visar kraften på ytan x — o.
Exempel 2i. För temperaturförklaringen i ett
oändligt utsträckt halvrum o < y <j oo gäller
differentialekvationen
32u 32 u , 32 u _ 1 du
dx* + 3y2 + d2* ~ ? dt
«•(*, V, z, t) = JJJf U, fi, v) eiUei>>xeirz
Randvillkoret k
dA dfi dv
(iT^) =q(x,o,z,t) ger
v ’»=0
kFU, /u, v) ■ j/A
H* + i
■ v —
+ 00
= -jjjjq & t, ff) e~il° ee~iHd» d|
varav
( + 00
1/2
S^ic/JJJJ/l
o — oo
K
q (i, C, ff) a (f - tf)
,«2 + v2 + i - j
er
ipiz-É) Mz-t) +
e e e
dVdèdtdA d[idv.
Vi anta, att vid tiden ( — o är
temperatufördel-ningen
u(x, y,z,o) ~f(x, y, z)
given, och att en given värmemängd q [x, z, t)
per cm" och sekund tillföres planet y — o föl
t> 0.
Vi lösa detta problem genom att sätta
u =ux + Uo, varvid Uj och u2 satisfiera
differentialekvationen samt villkoren
ih[x, y, z, o) =f(x, y, z); u2(x, y, z, o) — O
Häri har liksom i föregående exempel insatts
q[£A, ff) = o för ff < o och för ff > t.
Nu är med
JtK&iklÆ =o
L Jö=0
[dui[x, y, z, <)]
I-älT I =q(x,o,z,t)
+r0°ea(i-tf)eV’’t, + v,+ ’’?i
K
,«2 + i’2 +
Fig. 2 a.
3L>cr,
L L*er 7L JL
Fig. 2 b.
4L 5L ct
-Cl -a’0«’+v,)(( -tf) — j-j-Ä—— l -s’ ,
=–e " ’e 4a’((-tf) e ds =
V/^—ff jf
2 0^71 _aV + v=)(f-#) V’
=- — e e 4a’(f—tf)
Vf —ff
Härvid är integrationsvägen L i s-planet den i
fig. 3 visade. (Enligt t.ex. Courant-Hilbert I s. 64
ärds = \ln).
12 juni 1943
343
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
