Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 4. 29 januari 1944 - Spänningar vid plant deformationstillstånd, av Karl Ljungberg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
15 januari 1944
99
Spänningar vid plant deformationstillstånd
Professor Karl Ljungberg †, LSTF, Stockholm
DK 531.25
I min hållfasthetslära i DTV har som exempel
på Airys spänningsfunktion för plana
spänningssystem bland annat behandlats cylindrisk vals
(s. 433) samt plan belastat efter en rät linje
(s. 447). Behandlingen av den cylindriska valsen
är i princip densamma, som åtskilliga andra
författare, såsom Lorenz, Föppl m.fl., använt.
Problemet har dock av mig utvecklats något längre.
Mot såväl min som dessa författares lösning av
problemet kan emellertid invändas, att villkoret
om plant spänningssystem icke är exakt, om
cylindern är relativt lång, utan villkoret plant
deformationstillstånd är riktigare för större delen
av cylindern. Det är endast de delar av cylindern,
som ligga närmast de båda fria bottenytorna, som
icke uppfylla deformationsvillkoret. I mina
föreläsningar vid K. Tekniska Högskolan behandlade
jag de senaste åren även detta problem, men jag
har ej offentliggjort mina teorier på annat sätt.
Då jag emellertid under senaste tiden vid flera
tillfällen haft anledning att ånyo ta upp denna
fråga, vill jag här lämna en komplettering av de
i läroboken angivna teorierna för spänningar och
deformationer vid tryck mot vals och plan.
Jag vill då först visa, att Airys
spänningsfunktion, vars härledning i allmänhet, liksom i min
hållfasthetslära, endast visas för ett plant
spänningssystem, även gäller för ett plant
deformationstillstånd.
Om sålunda ett plan vinkelrätt mot z-axeln skall
fortsätta att vara plant, har man villkoret
£z = konstant =
Oji
E
där Gu är en ideal spänning. Vidare har man vissa
värden på spänningarna ox, Oy, oz och xz under
det att xx — ty — 0. När masskrafterna
försummas, gäller sålunda även här
dOx , dXl
och
dx
d
y
= o
dy dx
Härav
_ 92 F _ 32 F
Ox - n0†I == o och XZ -
ey2’ y dx1
(se s. 51 i läroboken).
Villkoret ez ==■ konstant ger
Ox + Ol/\_ Oli_
mJ~E~
32 F
^xdy
(1)
(2)
konstant
Härav
_ Ox + Oy
Oz —–r ön
m
De båda andra töjningarna bli
1 / Oy + Oz\
E \ m /
lim2— 1 m + 1 au\
~ ü \— •<!— –2 ’ °y — zrl —
E \ m m m)
lf Ox + Oz\
Cj=ët»—nr) =
1 fm2— 1 _ m +1 _ oh\ _ 3r,
~ E \ m2 °y m2 ’°x mJ
Skjuvningsvinkeln är
H
dx
y
(3)
3| , dr, 1
y — ä~ + a —
du d:
(4)
y ax G
Deriveras denna ekvation med avseende på x och
y, erhålles
a31
a3
v
I d2r*
G dx dy
dxdy2 ’ dx2-dy
Genom derivering av (3) erhålles
a81 = 1 fm2—! 32 a*
dxdy* El m2 " 3y2
och
1 |m2 — t 3\_m fl 32a*
dx*dy El m2 ’dx2
(5)
m + 1 32 oy
ni’ 3y2-
m
(6)
Införes (6) i (5) samt sättes
E = 2 (m+1)
G
in
erhålles
m
— i ra2
Ox
m
du2 d
+
Oy__
x2 -I nv löi
2(m+l) a2^
dxdy
+ 1 \&_Ox d*Oy
d x2 a-2
y
m
Införas spänningarna i denna ekvation enligt (2)
m2 — 1
så erhålles efter bortförkortmng av-^—
m
d*F diF 34 F
3x4 dx2dy2 3y4
0
således exakt samma ekvation som för det plana
spänningssystemet.
För cylindrisk vals har i min hållfasthetslära
Airys spänningsfunktion använts för bestämning
av spänningarna or, ov och x eller ox, oy och xz.
Då samma ekvation gäller för plant
deformationstillstånd som för plant spänningssystem, är
det tydligt, att de erhållna värdena på ovannämn-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
