Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 4. 26 januari 1946 - Insänt: De ekonomiska gränserna för mekaniseringen, av Erik Aug. Forsberg och Ragnar Liljeblad - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
12 januari 1946
j 103
Endast för ett par konstruerade ytterlighetsfall kan denna
bild modifieras. Det ena gäller människan på det rent
primitiva naturstadiet jämförbart med de högre
däggdjurens; där krymper kurvan ihop till en punkt på
y-axeln med ändlig ordinata. Det andra ytterlighetsfallet
gäller om människosläktet skulle förvandlas till likhet med
de sociala steklarna och bilda några slags
termitsamhällen. I detta fall kan minimet möjligen tänkas förskjutet
mot oändligheten och kurvan asymtotiskt närma sig ett
visst värde y = k.
Till sist en anmärkning: Någon skulle kanske vilja
försöka ersätta ovan beskrivna kurvskara med en enda kurva,
som alltså skulle omfatta alla utvecklingsnivåer.
Ordina-torna i denna kurva skulle då betyda tiden för
fram-skaffning av just den konsumtionsvaruenhet, som
motsvarar ifrågavarande tid eller utvecklingsnivå. Abskissorna
skulle närmast uttrycka tiden, eller då mekaniseringen
kontinuerligt om än olikformigt ökar med tiden, i stället
mekaniseringsgraden p. Men vad skulle en sådan kurva
egentligen uttrycka? Ingenting annat än människans
normala arbetstid per år eller dag för tillfredsställande av
hennes behov och dess historiska förändring med tiden
resp. mekaniseringsgraden. Kurvan skulle väl från det rena
naturtillståndet först stiga något för att därefter hålla sig i
huvudsak horisontell, något under den fysiologiskt maximala
arbetstiden, ända fram till den industriella epokens
inträdande, då den småningom börjar sjunka ned mot ca %
av maximivärdet eller därunder. Hur den i framtiden
kommer att se ut beror närmast på hur högt människorna
komma att värdesätta sin fritid i jämförelse med
eftertrådda konsumtionsvaror. Men från en dylik kurva kunna
tydligen inga sådana slutsatser göras, som Forsberg och
jag försökt dra ur våra resp. kurvor. Det förefaller mig
emellertid som om Forsberg i någon mån sammanblandat
dessa helt skiljaktiga betraktelsesätt. Ragnar Liljeblad
I större matematiska läroböcker (t.ex. Serket—Scheffer:
Lehrbuch der Differential und Integralrechnung II, Leipzig
1907) visas att
1) Jt n
varför
.Ji 2 n (n
sin • sin .... sin - = „
n n n 2»"1
p = 2" 1 • -—- = n
2n 1
vilket är problemets lösning. Enligt denna metod har
uppgiften behandlats av J Tandberg, M Grenander och E
Palmblad.
Ett annat sätt att lösa problemet består i att man
betraktar kordorna som vektorer i det komplexa talplanet.
Produkten av de n komplexa vektorerna från punkten
z, dvs. A-„ k, ... kn—i, k0 enligt fig. 2 blir numeriskt
Pn = (z — Zo) (z — Zi) .... (z — Zn -i) (1
Problemhörnan
Problem 12/45 var följande: "En cirkel med radien 1 delas
längs periferin i n lika delar. Från en delningspunkt dras
kordor till övriga n—1 delningspunkter. Bestäm produkten
av dessa kordor."
Fig. 1.
Längden av kordor na k\, 7>o osv. blir med tigurens
beteckningar
7c, i= 2 sin <pi; ka 2 sin <p2; — — — kn—1 ■= 2 sin <p(n—1)
Vidare är tydligen
(pi =
fp 2 =
2n
–-rpn-1 =
(n — i) Ji
n n
varför produkten av kordorna blir
„ • 71 „ . 2 TT .3 71 „ . (n - 1) TT
P = 2 sm—-2 sin—-2 sin .... 2sinv——
-n n n n
, .71 .2 71 .3 7T . (n — 1)jt
= 2" • sin — sin — • sin — .... sin
n n n n
Denna produkt är reell och likamed produkten av de
verkliga längderna eftersom symmetriskt belägna vektorer äro
konjungerande.
Nu betyda som bekant de n delningspunkterna hos en
enhetscirkel rötterna Zo, zx osv. till ekv. zn — 1 = 0, vilken
ekvation också kan skrivas
(z — Zo) (z — Zi) .... (z — Zn-i) = o (2)
i formell överensstämmelse med ekv. (1). Roten z = 1
motsvarar i fig. punkten z0.
Den sökta produkten
P = Pn- =
ko z — Zo
antar alltså för z0 = 1 värdet
z — 1
För z ■= 1 erhålles sålunda
P -
lim
z — 1
lim = „
2=1 1
Ovanstående har återgivits efter lösningar insända av
L Löfgren, S Sundén, F Dahlin, A Cronholm samt sign. Og.
Den sistnämnde anger att om hela punktgruppen (utom z)
vrider sig vinkeln <p, gäller ett
"generaliserat cosinus-teorem":
(ko ki k2....kn i)2 = zin — 2 zHcos n (p + 1
Problem 2/46. Tre motstånd, vilkas
resistanser utgöra x, g resp. z ohm, äro
kopplade i triangel enligt fig.
Resulterande resistansen mellan hörnpunkterna
B och C uppmätes till a ohm,
C A b
AB c
Beräkna härav x, g och z.
A Lg B
Fig. 3.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
