Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 33. 17 augusti 1946 - Lösning av vissa värmeledningsproblem med Abels integralekvation, av Hans Lottrup Knudsen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
17 augusti 1946
797
Lösning av vissa värmeledningsproblem
med Abels integralekvation
Civilingenjör Hans Lottrup Knudsen, Akeslund
I många icke stationära värmeledningsproblem
inom tekniken kan det värmeledande mediet med
god approximation betraktas som varande
oändligt eller halvoändligt. Härvid erhålles den
fördelen, att antalet av de i problemet ingående
parametrarna blir mindre än om hänsyn hade
tagits till det värmeledande mediets alla begräns-,
ningar.
Exempel på problem, som kunna förenklas på
detta sätt, förekomma t.ex. vid uppvärmning av
bergtunnlar1. Vanligtvis är här bergväggen så
tjock, att bergets yttersida ej uppvärmes
märkbart under det ifrågavarande tidsrummet.
Temperaturfältet i bergväggen kring tunneln blir därför
detsamma som temperaturfältet kring tunneln,
då denna är inbäddad i en bergmassa av oändlig
utsträckning.
Ett annat exempel erbjuder uppvärmningen av
en kabel under en kortslutning. De
kortslutningstider som komma i fråga äro vanligtvis så små,
att den från ledaren utgående temperaturvågen
ej hinner fram till isolerskiktets andra
begränsning under kortslutningstiden. Detta gäller ej
enbart vid kablar för höga spänningar, där
isoler-skiktet är relativt tjockt, utan med god
tillämpning även för lågspänningskablar2’3.
De lösningsmetoder som kunna komma till
användning vid värmeledning i ett oändligt eller
halvoändligt medium äro delvis beroende av, om
värmekällan är av en sådan natur, att
värmeflödet från källan, dvs. källans effekt, som
funktion av tiden är känd, eller om i stället
värmekällans temperatur är en given funktion av tiden.
För båda fallen kunna lösningar erhållas av de
för ett skikt av ändlig tjocklek gällande
lösningarna genom en gränsövergång vid vilken
skikttjockleken går mot oändligheten; denna metod
har tillämpats på ett problem i vilket källor med
given effekt förekomma1. En för många fall
enklare metod är Heavisides operatorkalkyl2’4.
För värmeledningsproblem av den förstnämnda
typen, dvs. problem vid vilka värmekällans effekt
är en känd funktion av tiden, har Lörd Kelvin
angivit en lösningsmetod som utmärker sig genom
sin åskådlighet, källmetoden5’6. Grundelementet i
denna metod bildas av uttrycket för temperatur-
DK 517.8 : 536.2
fältet kring en punktformig, momentan källa av
storleken Q, inbäddad i ett homogent medium av
oändlig utsträckning med den specifika
värmeledningsförmågan X och
temperaturledningsförmågan a. Om r betecknar avståndet från källan
och t tiden, erhålles lösningen
För källor av ändlig utsträckning kunna uttryck
för temperaturfältet kring dessa erhållas genom
att man tänker sig källorna sammansatta av
oändligt många punktformiga källor och utför
de motsvarande integrationerna. För en plan,
momentan källa av storleken q per ytenhet erhålles
sålunda, om x betecknar avståndet från planet,
Hx’t)=2i\!nt’e 4a< (2)
Metoden kan även finna tillämpning på värme
ledande medier av halvoändlig eller ändlig
utsträckning och med yttemperaturen noll, i de
fall då mediernas begränsningar äro så
beskaffade att de kunna bringas att samanfalla med
isotermer i temperaturfältet kring numeriskt lika
stora positiva och negativa källor placerade på
lämpligt sätt i det oändliga, värmeledande mediet.
Detta förfarande, speglingsprincipen, har särskilt
inom teorin för stationär värmeledning,
elektro-statik och hydrodynamik funnit stor
användning5’ 8-9.
Vid tidsberoende källor erhålles lösningen för
temperaturfältet genom användande av Duhamels
integral på lösningen för momentana källor. För
en plan källa med effekten w(t) per ytenhet
finner man sålunda
t
* {x> t)=h V* / 6 ~ s (3)
o
Är det värmeledande mediet halvoändligt och
sammanfaller den plana källan med mediets be-
* Vissa problem inom sannolikhetskalkylen föra till en
differentialekvation formellt identisk med värmeledningsekvationen. Vid
lösningen av ett problem av denna typ har Lörd Rayleigh tillämpat
den i ekv. (1) givna partikulära integralen7.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
