Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 8. 22 februari 1947 - Insänt: »Oanvänd matematik», av Sven Svantesson och Jarl Salin
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
22 februari 19 Al
199
verket bildas med ledning av de valda reglerna för
utförandet av kalkylerna med skrivtecknen, inses
naturligtvis ej av barn och knappast av fullvuxna i gemen. Man
föreställer sig snarare att de matematiska begreppen på
något vis även oberoende av vår tankeverksamhet skulle
existera i vår omvärld och att vi blott kan ha svårt att
få korn på dem. Man är kort sagt mera inställd på att
försöka fatta de matematiska begrepp man förstår att det
är fråga om, än på att försöka bilda dem.
Då sedan efter hand talet noll och negativa tal samt
irrationella, imaginära och komplexa tal införes i kalkylerna,
finner eleverna sig varje gång ställda inför liknande, nya
svårigheter att fatta vad som avses med de nya begreppen
och var i tillvaron de står att finna. Man lämnar slutligen
skolan med intrycket att tankeförmågan ej räckt till att
annat än högst ofullständigt fatta alla dessa subtila
begrepp och abstraktioner, och de som sedan t.ex. i tekniska
högskolor går vidare till studier av högre matematik gör
det säkert ofta med känslan av att inte ha fått fullt klart
för sig vad det där egentligen är fråga om. Försök att gå
till botten med begreppen på den inslagna vägen leder till
de av Svantesson genom hänvisningarna till Brouwers och
Weyls arbeten antydda och även enligt min anspråkslösa
mening fullt berättigade tvivelsmålen om åtminstone de med
de irrationella talen åsyftade begreppens existens eller
logiska existensmöjlighet.
I mitt föredrag försökte jag att med de av Svantesson
kritiserade några meningarna i förbigående antyda en helt
annan, mera realistisk och lättare begriplig inställning till
matematiken. Vad jag avsåg kan kanske lättare förstås
genom ytterligare några antydningar därom, huru en sådan
inställning skulle kunna åstadkommas genom en annan
presentation av matematikens elementäraste grunder:
Siffrorna och heltalssammanställningarna av siffror
skulle presenteras rätt och slätt som skrivtecken och
sammanställningar av sådana, för vilka föreskrivits en
bestämd, så att säga alfabetisk katalogiserings-ordningsföljd.
Siffertalkatalogens utbyggnad åt det negativa hållet kunde
för övrigt redan härvid omnämnas. Man skulle framhålla
att detta ordnade system av krumelursammanställningar
— eller delar av systemet — liksom också det pussel
därmed, som man skall beskriva, kan användas för en mängd
olika praktiska ändamål, i första hand för numreringar, i
andra hand även för beskrivningar av antal. I samband
därmed borde klarläggas att det brukliga talesättet om
"mindre" och "större" i stället för om "föregående" och
"efterföljande" tal är lånat från sistnämnda speciella
användning. De olika räknesätten kunde presenteras som
sifferpussel enligt vissa valda föreskrifter och regler,
givetvis inspirerade men ej definierade genom vissa
användningsmöjligheter för teckenspelet. Naturligtvis borde
det uppkomna teckenspelets olika användningsmöjligheter
rikligen demonstreras och studeras, ej endast för
behandlingar av antalsproblem utan även i fråga om problem
rörande omnumreringar o.d.
Teckenspelet skulle därefter utvecklas till att omfatta
även siffersammanställningar — nämligen bråk — som i
sifferkatalogföljden tilldelas platser även mellan de
tidigare heltalsbeteckningarna. Härvid och vid upprepade
tillfällen i fortsättningen kunde framhållas att spelets
utbyggnad naturligtvis alltjämt inspireras av tankar på vissa
användningsmöjligheter men därjämte även av en önskan att
ge spelet en större inre harmoni genom att göra det mera fritt
från undantag och mera enhetligt, vilket för övrigt också
visar sig befordra de praktiska användningsmöjligheterna.
I detta sammanhang borde även påpekas att det olyckligt
valda ordet "likhet" mellan två teckenaggregat, som inte alls
ser lika ut, endast avser att uttrycka en tillåtelse att i
teckenspelet utbyta det ena aggregatet mot det andra och vice versa.
De speciella irrationella tal, för vilka särskilda
beteckningar införts, kunde i förbigående omnämnas som
skäligen osystematiska inslag i sifferkatalogen. Till den enligt
nu gängse terminologi med irrationella tal (utan tillhöran-
de beteckningar!) opererande kontinuitetsmatematiken
(analysen) skulle man komma genom att införa en sådan
uppluckring av spelreglerna, att man in casu tillåter
utbyten av sifferaggregat mot enligt katalogordningen
närliggande sådana, mot vilka de ej är generellt utbytbara,
på villkor att den härigenom införda obestämdheten i
teckenspelet hålles under kontroll och kan nedbringas så
långt man i varje enskilt fall fordrar. På denna väsentliga
punkt vore sålunda även enligt min mening en rätt
genomgripande "sanering" av de gängse matematiska
betraktelsesätten behövlig. Det synes mig som om Brouwer här gjort
en början med sina "fria valföljder"*, men hans i övrigt
för mig tyvärr högst oklara "intuitionistiska"
uppfattningar om vad man sist och slutligen resonerar om i
matematiken, sammanfaller knappast med den uppfattning
jag här försöker skissera.
över huvud borde man alltså, enligt min uppfattning,
presentera matematiken i de olika utbyggnadsetapperna på
skolstadiet i första hand som ett spel med vissa
skrivtecken enligt vissa som lämpliga befunna och en gång för
alla antagna regler men naturligtvis varje gång genom
mängder av exempel visa huru den så konstruerade
apparaten på grund av sin konstruktion kan användas för mer
eller mindre träffande, symboliska beskrivningar av
iakttagna eller i anslutning till iakttagelser tänkta
förhållanden och för tillhörande utredningar av dessa. Man borde
härvid i olika sammanhang påpeka å ena sidan att man
i många fall genom att mekaniskt tillämpa kalkylreglerna
kan förenkla utredningar av med apparaten beskrivna,
invecklade förhållanden i den "fysiska verkligheten", men
också hurusom man å andra sidan med ledning av mera
bekanta och lättare konstaterbara egenskaper hos sålunda
beskrivna iakttagelser, t.ex. i fråga om grafiska
framställningar, omvänt kan bli uppmärksamgjord på intressanta
och viktiga egenskaper hos teckenspelet. Ett omfattande
studium av olika användningar av teckenspelet ger alltså
även en överblick av spelets egenskaper, uppkomna som
konsekvenser av de antagna föreskrifterna för dess
bedrivande. och därmed även av användningsmöjligheterna.
Att till begrepp, kallade tal, sammanföra allt det, likt
och olikt, som de skrivna talsymbolerna kan representera,
och tänka sig de så symboliserade begreppen som de
matematiska utredningarnas egentliga objekt, är enligt min
mening opåkallat. En definition av t.ex. begreppet "den
imaginära enheten" blir ju närmast löjlig, om man som
sig bör definierar den som allt det, som bokstaven i kan
symbolisera med beaktande av de regler, som antagits för
handhavandet av denna bokstav i kalkylerna.
Teckenspelet symboliserar inte a priori någonting utan utgör en
apparat, som står till förfogande för allt, som man finner
att den på grund av sin konstruktion kan användas till.
Studerande bör ej låta sig förbryllas därav att man vid
beskrivningar av denna apparat i stor utsträckning för
enkelhets skull använder uttryckssätt, som förutsätter att
apparaten användes för en eller annan, speciell symbolisk
beskrivning av förhållanden i vår erfarenhetsvärld, i det
att man talar om t.ex. "större" och "mindre" och "lika
stora" tal och annat dylikt. Det borde för
matematikstuderande av olika åldrar med eftertryck framhållas att man
vid allmänt hållna matematiska utläggningar blott för att
få bekvämare och mnemotekniskt fördelaktigare
formuleringar använder sig av dylika från eventuellt möjliga
användningar av den matematiska apparaten lånade och
överförda, endast betingat korrekta uttryckssätt.
Att den här skisserade, realistiska uppfattningen av
matematik och dess användning vore mindre ägnad att fostra
självständiga tänkare än Svantessons symboliskt
metafysiska uppfattning, har jag svårt att föreställa mig. Den
kan åtminstone frigöra tankeapparaten från åtskilligt
onödigt och fåfängt grubblande. Jarl Salin
* Se t.ex. Weyl, H: über die neue Grundlagenkrise der Matematik,
Math. Z. 10 (1921) s. 39—79.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
