Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 2. 13 januari 1951 - Insänt: Statistiska synpunkter på utmattningshållfastheten, av Börje Langefors, Cyrill Schaub och Waloddi Weibull - Rättelse
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
32
TEKNISK TIDSKRIFT
Man önskar veta, vilka belastningar man skall välja och
hur många prov vid varje belastning och finner då
omedelbart, att det alltid är bättre att välja två S-nivåer än att
välja fler än två. Vidare, att förhållandet mellan de båda
belastningarna SJS1 och förhållandet mellan antalet prov
vid vardera belastningen entydigt bestämmes av
parametern b. Som ett konkret fall kan jag ånge värdena för
ett material med b = — 8. Om den ena belastningen valts
till 30 000 psi, så blir den andra 22 000, vid vilken
belastning man bör köra 0,26 prov för vart och ett vid den
högre belastningen. Om man i stället kör lika många prov
på vardera belastningen, så får man för att uppnå samma
precision en ökning i körtid av 39 %>. Man ser härav, att
även små modifikationer i programmet kan ge avsevärda
förändringar i körtid.
Om spridningen är en funktion av S, vilket säkert är
fallet, får man andra optimalvärden. För uppläggningen av
ett körprogram är det därför av stor vikt att känna
spridningen inom de olika S-nivåerna. Detta har gett
Utmattningssektionen inom Svenska nationalkommittén för
mekanik anledning att starta sitt arbetsprogram med en
serie stora provserier för en del representativa
kombinationer av material, belastningstyp m.m.
Om man nu i stället för ovannämnda S—N-samband
väljer det av mig föreslagna (ekv. 3), som innehåller 4
parametrar, och om man vore säker på riktigheten av detta
samband, så blir det optimala antalet S-nivåer fyra eller
precis så många, som behövs för att entydigt bestämma
parametervärdena. Men på detta sätt får man ingen
kontroll på S—N-ekvationen.
Om således denna relation är diskutabel, vilket den utan
tvivel är, så länge man inte har ett mycket större
försöksmaterial till förfogande, så måste man välja fler S-nivåer
än antalet parametrar. Men även då är det säkerligen
bättre att koncentrera proven på ett fåtal extrabelastningar
med tillräckligt många prov på var och en för att kunna
avgöra om eventuella avvikelser från kurvan är statistiskt
signifikativa eller icke.
Som allmän regel torde man därför kunna säga, att man
skall vara snål med antalet belastningar men frikostig med
antalet prov vid varje belastning.
Civilingenjör Schaub anmärker på mina beräknade 80 °/o
och anger i stället siffran 88,9 °/o. Denna diskrepans är
lätt att förklara. Dessa båda värden har nämligen bestämts
enligt två helt olika procedurer. Värdena i första tabellen
har Schaub erhållit genom att lägga ett vertikalt snitt
genom P—ar-kurvan dvs. han bestämmer det P-värde, som
svarar mot x —— 1,5 o, och jag har bestämt, genom ett
horisontalt snitt, det x-värde, som svarar mot P — 0,10.
Vi har således bestämt var sin punkt på kurvan.
I sin andra tabell använder sig däremot Schaub av
samma metod som jag, och där får vi också praktiskt taget
identiska resultat, nämligen att variationsvidden är ca
3 o. Men detta resultat ger alls icke något belägg för
normal fördelning av log N. Som jag förut visat är P = —^j-y .
Det första värdet i en grupp på 9 svarar därför mot
P = 0,10 och det sista mot P = 0,90. Vid normal
fördelning ger P = 0,10 ett x = 1,28 o. Schaub får i sin tabell
x = 1,53 o. Detta resultat kan icke sägas överensstämma
praktiskt taget exakt med vad som kan härledas ur
antagandet att fördelningen p (log N) är normal.
Nu är det nog så, att varken det av mig eller av Schaub
använda kriteriet på normalitet är särdeles skarpt vid de
små kollektiv, som här kommit i fråga. Jag skall därför
visa en bättre metod. Ur andra och fjärde momenten kan
man beräkna den s.k. excess-koefficienten ga för en god-
171 i
tycklig fördelning enligt formeln g? =—5–3. Denna
storm-a
het är noll för en normal fördelning. Med värdena enligt
tabell 1 får man för de olika belastningarna följande
<72-värden:
s 75 70 65 60 55
0-2 — 0,94 — 1,34 — 0,34 — 0,40 — 0,31
52 50 48 46 44 42
— 0,41 — 0,10 — 0,66 — 1,03 — 0,58 — 0,54
Medelvärdet g2 blir —0,605, med medelavvikelsen 0,11;
för de enskilda <7a-värdena är denna 0,365. Om nu
fördelningen vore normal, skulle man erhålla omväxlande
positiva och negativa värden på ga. Sannolikheten, att man 11
gånger i följd skulle få enbart negativa värden, vore
försvinnande liten. Man finner vidare av värdet t = 0,605/0,11
= 5,5, att sannolikheten för att ga av en slump skulle
avvikit från noll är mycket mindre än 0,001. Avvikelsen från
normalitet är således i hög grad signifikativ.
Denna avvikelse gäller dock huvudsakligen
fördelningskurvan i omgivningen till medelvärdet. Det finnes en
annan avvikelse, som är av större intresse, och den avser
extremvärdena. Den kommer till synes, om man prickar
in mätpunkter från olika utmattningsprov på ett
logaritm-normalt rutpapper. Man finner då, att punkterna nästan
undantagslöst kommer att ligga på en S-formad kurva, som
för små värden på P ligger under den teoretiska räta
linjen och för stora P ligger över. Två typiska exempel visar
Peterson (ASTM Bull. jan. 1949 s. 50, TP12) och Head
(ASTM Bull. okt. 1950 s. 51, TP237). Den sistnämnde har
även funnit att fördelningen har en signifikativ, negativ
excess = —0,877 (jfr med ovanstående värde —0,605) och
säger med en viss resignation: "–-extreme values do
not occur as frequently as would be predicted by a normal
variable this effect being common with physical data". Ja,
det är alldeles riktigt, och det beror helt enkelt därpå, att
man fullkomligt godtyckligt och utan bärande skäl antagit,
att den undre gränsen är noll. Att återgivandet av
observationsmaterialet blir högeligen förbättrat, om man
frångår detta antagande kan väl icke förnekas. Frågan om den
reella grunden för en undre gräns skulle jag gärna
behandla mera ingående, men det skulle tarva mer utrymme,
än jag här kan få disponera.
Till slut ett par ord om Gauss-fördelningen. I
engelsktalande kretsar kallas den även "den normala". Det är
en mycket olycklig benämning, ty på grund av ordets
makt över tanken blir många förledda att med absolut
trosvisshet förfäkta, att varje avvikelse från denna
fördelning är onormal, med påföljd att man godtar även
mycket svaga bevis för normalitet eller t.o.m. ignorerar
starka bevis för motsatsen. I förutnämnda arbete av Head
visas t.ex. att p (log N) har en signifikativ negativ excess
och att dessutom extremvärdena inte faller på den
teoretiska normalkurvan, men icke desto mindre blir
slutsatsen, att fördelningen av log N "is an approximately
truncated normal distribution". Denna slutsats är precis
lika riktig som påståendet, att en S-kurva är en
approximativ rät linje. Ty i omgivningen av inflexionspunkten
stämmer det inte alls illa.
Schaub är ändå mera överdådig i sin uppgift, att både N
och log N är nära normalt fördelade. Eftersom det är
matematiskt uteslutet, att båda storheterna kan vara det
samtidigt, visar det endast en brist i Schaubs "test of normality".
Hänvisningen till Freudenthal är icke riktig. Denne har
icke visat, att fördelningen p (log N) närmar sig den
normala med ökat antal prov. Han säger endast, att
livslängden N har en karaktäristisk, skev fördelning men att "this
skewness is considerably reduced if p (log N) is plotted
instead of p(N), the frequency distribution p(logN)
approaching the normal (Gaussian) distribution function
fairly well". Waloddi Weibull
Rättelse: Förf. till uppsatsen "Program i
arbetsinstruk-tion" (Tekn. T. 1951 s. 1) heter icke Sten Uddenberg,
såsom felaktigt angavs i rubriken till uppsatsen, utan Sven
Uddenberg.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
