Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 7. 19 februari 1952 - Statistisk planering av utmattningsförsök, av Waloddi Weibull
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
12 februari 1952
159
försök på statistiskt bästa sätt, föreligger intet behov att
uppdela spridningen i sina båda komponenter.
Om St är en statisk belastning, består naturligtvis även
! av två termer, en beroende på provstaven, den andra
på maskinen.
Det är uppenbart att si är oberoende av alla andra
belastningar än Si. Det är därför möjligt att uppställa ett
entydigt samband mellan s och S, som givetvis måste
satis-fiera villkoret, att s blir oändligt stort så snart en enda
av provstavarna håller obegränsat länge eller med andra
ord när S —> Eh, där Eh är den övre utmattningsgränsen.
Som en första ansats sätter vi
S = H(S — E,)~h (33)
eller
log S = log H — h log (S — Eh) (34)
Det är uppenbart, att det, i stället för att ånge
spridningen i X som funktion av S, går lika bra att ånge
spridningen i S som funktion av X. Detta har till och med
fördelen att denna spridning alltid är ändlig. Dess värde kan
dock inte bestämmas direkt experimentellt utan måste
uträknas ur 5—iV-kurvorna. Av denna anledning kan det
vara enklare att som mått på spridningen använda
variationsvidden, som lätt beräknas ur de båda ytterkurvorna
(förutsatt konstant m). Enda invändningen ligger i att
medelavvikelsen är mindre beroende av extremvärdena och
uppvisar mindre spridning än variationsvidden.
Optimal fördelning
av antalet prov på belastningsgrupperna
Föregående formler gör det möjligt att bestämma
osäkerheten hos beräknade parametervärden. Men de kan även
användas att bestämma hur man lämpligast fördelar
antalet prov för att uppnå en viss precision med minsta
körtid, kostnad eller antal provstavar.
Vi har således tre olika förutsättningar allteftersom till
förfogande står: ett givet antal provstavar, en given körtid
eller ett givet ekonomiskt anslag.
I första fallet utgår vi från ekv. (30) eller (31) och antar
att antalet n = 2 mår konstant. Man kan lätt visa att oe
antar ett minimivärde om
mln=(Exs)ilS(Exs) (35)
där alla Ex tas med positivt tecken.
Insättes (35) i (30) får man minimivärdet
ge = Z(Exs)lVn (36)
I andra och tredje fallet är tiden resp. kostnaden för ett
enstaka prov sammansatt av två delar, den ena
oberoende av livslängden, den andra ts proportionell mot
livslängden. Vid varje belastning blir således medelvärdet av
körtid resp. kostnad per prov ti = ^ + ts och hela
beloppet för i:e belastningen
Ti = h ■ m (37)
Införes m = Ti/ti i ekv. (30) och hålles T = 2 Ti =
konstant blir optimala fördelningen
T il T = (Ex • s Pß]ijZ {Ex s flß) (38)
eller
min = {Ex s t - (Ex s t -1/2) (39)
med minimivärdena
aE = ^ (EX s fl/2)/|/r = 2 (Ex st-1 /2)/|/n (40)
Motsvarande formler erhålles för övriga parametrar
genom att ersätta E med B, a eller m.
Val av optimala belastningsstorlekar
Varje förändring av en belastning Si påverkar samtliga
värden på koefficienterna k och följaktligen även
osäkerheten i beräkningen av parametervärdena. Följaktligen
höidet finnas en optimal kombination av belastningsstorlekar,
Tabell 1. Statisk hållfasthet och pulserande
dragutmattning av svarvade provstavar av 75S-material;
minimi-spänning 0
67* 24 — — — — 0,697 0,146 3,2 4,59
53 24 4,0036 4,3222 4,6628 4,3431 0,175 0,036 0,6542 3,74
47 24 4,0453 4,6826 5,0792 4,6777 0,186 0,038 (1,0339) (5,55)
41 24 4,7324 5,2028 5,5821 5,1630 0,227 0,047 0,8487 3,74
35 24 5,3802 6,4088 7,4597 6,4396 0,551 0,112 2,0795 3,78
* Brottgräns, medelvärde (lägsta värde 65,7, högsta värde 68,9
kp/mm2).
men att bestämma denna är ett mycket omständligare
problem än det föregående.
Det må påpekas, att vid denna undersökning
parametervärdena hålles konstanta och lika med de ursprungligen
beräknade.
För ögonblicket förefaller den mest praktiska vägen vara
att förändra en av 5 i i taget, tills man erhållit
motsvarande minimum, varefter man övergår till de övriga
belastningarna i tur och ordning. Den mest betydelsefulla i
detta hänseende synes vara därför att s4 kan anta
mycket höga värden när 5 —> Eh. Av detta skäl lämnar S4 ett
mycket markerat minimivärde, vilket visas i ett
efterföljande exempel.
Tillämpning av formlerna
på pulserande dragutmattning av Al.-legeringen 75S
Vid Flygtekniska Försöksanstalten har en omfattande
utmattningsserie körts i en 10 t Amsler
högfrekvenspulsa-tor med material från Svenska Metallverken som ett led
i det stora program som planerats av Utmattningssektionen
inom Svenska Nationalkommittén för Mekanik. Materialet
är av sprutad kvalitet och levererades i form av runda
23 mm stänger i tillräcklig mängd för ca 1 000 provstavar.
Ett större parti provstavar tillverkades med en diameter
av 6 mm och en effektiv provlängd av 20,4 mm genom
svarvning, varvid det avslutande slätskäret ständigt tagits
med inmatningsdjup ca 0,25 mm och en nosradie på
svarvstålet av ca 0,3 mm. En omsorgsfull hårdhetsmätning
utfördes på samtliga stavar, som ordnades efter hårdhet för
fördelning på de olika belastningsgrupperna.
Försöksresultaten framgår av tabell 1, som visar att
Z(=logiV) har en tillfredsställande symmetrisk
fördelning, ty differensen mellan medelvärdet X och medianen
Xm är vid samtliga belastningar icke signifikativ.
Medelavvikelsen s av X är beräknad enligt ekv. (32).
Medelavvikelsen för Å’ är s/\rn och för Xm ca 25 % större.
Förhållandet mellan variationsvidd och värdet på s är
märkligt lika för belastningarna 53, 47 och 35. Det för höga
värdet 5,55 för S — 47 visade sig vid efterföljande
besiktning bero på dålig ytbeskaffenhet hos provstaven med
kortaste livslängd. Något sådant fel kunde inte iakttas
vid övriga belastningar (se fig. 2).
Parametervärdena i tabell 2 har beräknats enligt ekv. (12)
med värdena Xlt Xm och X& vid belastningarna 67, 53, 41
och 35 från tabell 1. Värdet av Xm för S = 47 beräknades
med dessa parametrar och gav ett fel A Z = FjJm = 0,020,
vilket endast är ca 50 % av motsvarande sf]/n och således
Tabell 2. Parametrar, beräknade ur statiska värden och
utmattning vid S = 53, 41 och 35 kp/mm*
P E B- 10"4 a m
0,04 31,6 1,139 1,578 0,743
0,50 33,5 1,432 1,618 0,600
0,96 34,5 2,450 1,768 0,593
[-Maximi-spän-ning-]
{+Maximi- spän- ning+} i kp/mm2 [-Antal-] {+An- tal+} )rov Xi Xm Xu X [-Uppskattad medel-ivvikelse-] {+Upp- skattad medel- ivvikelse+} s s/Vn [-Variationsvidd Variationsvidd-] {+Varia- tions- vidd Varia- tions- vidd+} s
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
