Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 9. 1 mars 1955 - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
192
TEKNISK TIDSKRIFT
Lösningen till denna differentialekv. kan (jfr Jahnke—
Emde) skrivas
X = A Jo (kX) + B No (Ar) (5)
där J0 och N0 är Besselfunktioner medan A och B kan
vara tidsfunktioner. Om manteln hålles fixerad blir X — 0
för r = b, varav
A J0(kb) + BNo[kb) = 0 (6)
För kärnan gäller
n a2 /yi (— co2 X)a = —2 na l Ta
dvs.
Härav
Ta = ju2 yiaXa
(7)
där Ta erhålles ur (2)
Sålunda
Ta = - G = - Gk[A Jo’ (ka) + B N0’ (A-a)]
\ dr Ja
= Gk[A Jt (ka) + B Ni (ka)]
som med (7) ger
G k [A Ji (ka) + B Ni (ka)] = — • ^ ka [A J0 (ka) 4- B N0 ka] (8)
y 2 2
y i i
där–-—ka tills vidare sättes lika med K.
yi 2
Ekv. (6) och (8) ger tillsammans
K [Jo (ka) N0 (A-b) - Jo (kb) N0 (ka)] +
+ Jo (kb) Ni (ka) - N0 (kb) Ji (ka) = 0 (9)
varav med ka = u och kb = — u = ~ u
a d
yi
2y2
a[/o(ii)JVo (y uj-Jo[^j- u)iVo(u)]
Jo uj Ni (u) - Ji [u) No a) = 0
(9 a)
Denna ekv. bestämmer u, som i sin ordning ger k och <o.
Den har med säkerhet oändligt många rötter u, av vilka
den minsta utgör problemets lösning. För små u gäller
närmevärdena
Jo(u)Pü 1; Ji(u)æ—;
JV<,(u)w^(lny+c) där
C = 0,577 ... (Eulers konstant); Ni (u) f^ — varav
yi 2 D 2
u — ln —–= 0
dvs.
2y2 n d nu
2y2
U2 = £2 02 =
. D
yrl n-
eller med hänsyn till (3)
w2 =
2 G
a2 y\ ln
D
(10)
(10 a)
Detta är just den lösning som man för övrigt på enklare
sätt kan erhålla om elastens massa försummas. Den kan
alltså ej godtas.
Ur (10) erhålles
varvid inses att den minsta exakta roten till (9 a) bör
vara något mindre. Ett försök med = 0,5 lyckas rätt
väl, men ut = 0,497 stämmer ännu bättre.
~ ~ä V yi ~ 0,5 V 1,
981•106
15
= 2 250
2 250
varav frekvensen = ——- = 358 Hz.
2 n
Om kärnan fasthålles och manteln får oscillera erhåller
man i stället för (10 a)
2 G
6>2 =
ö(D + ö) yi ln
D
(10 b)
varav inses — då a2 = 0,25 och 8 (D + 8) = 0,906 — att
egenfrekvensen kommer att bli drygt hälften mot i det
nyss behandlade fallet.
U Olsson har — ehuru delvis med andra
symbolbeteckningar — följt samma räkneschema. Genom interpolation
i Jahnke—Emde-tabellerna har han bestämt de två sökta
svängningstalen till 362 resp. 193 Hz.
Problemred. hade för sin del tänkt sig en något enklare
lösningsmetod, varvid hans syfte med att välja
diameterförhållandet D : d^i e var att göra den numeriska
beräkningen till den lättaste möjliga.
Betrakta ringelementet dr i fig. 2 och antag att axiella
längden är 1 cm. Om deformationskraften är P, erhålles
för deformationen
P dr
dx =
Xmax —
2 71 r G
——ln-
2 JiG n a
(11)
Om man tills vidare beaktar enbart kärnmassan
mk — na2 yi = 6,2 g
blir egensvängningstalet
h]/’
2 Jt G
, b
nu-ln —
a
= 390 Hz
Av elastens totala massa, som är
nie = n(b2 — a2)y2 = 5,78 g
adderar sig bråkdelen <p till kärnans massa m/j. Man bör
kunna skriva
där
och
me • <p
x
Xjnax
r~b
"Ji
x y
Xmax’
dm
(12)
r = a
b
ln
r
~b
ln
a
enligt (11)
dm = y2 • 2 n r dr
Genom integrering av (12) erhålles
b2 —a2
/ M2 b2 — a2 /, b\2 a2 ( b\ a2
K) —F-?, = -(lnä) T~l ö) ’T
varav med b = 1,36 och a = 0,5
<p = 0,188 = 18,8 °/o
Den effektivt medsvängande elastmassan väger sålunda
0,188 • 5,78 = 1,09 g, varför det verkliga
egensvängningstalet blir
390
V
mk -t- (p • me
= 390 ]/„ „ 6?2< ^ = 360 Hz
V 6,2 + 1,09
Problem 2/55. En jämntjock, vertikal mast med längden
/ och massan m får falla till marken, varvid
understödspunkten ej rubbas. Beräkna storleken av det maximala
böjmomentet i masten under fallet. A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
