Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
6 C. F. E. Björling.
så erhåller man uppenbarligen, genom att multiplicera med sin nr dr,
och integrera mellan 0 och sr, likheten:
n x
(9) f f(x) sin nz de = "by
o 2
Och således kan man uppställa följande
Theorem I.
Om likheterna
(10) /(z) = a, + a, cos. + u, cos 2r +...vr
(11) (2) = b, sinx + b, sin2r +....
gälla för hvarje x-valör mellan 0 och 7, och f(x) är continuerlig mel-
lan samma gränser, så är med all säkerhet
(12) / födde = na
(13) fi cos ne dr = a (n icke = 0),
(14) S 705) sö nede — : b,,
vare sig att serierna i (10) och (11) äro finita eller infinita !).
g 2.
Detta theorem vilja vi till en början använda på de bekanta
formlerna 2):
(1) 2"! cos"r = $(2a), + (2a), 4 cos 22 + (2a), 4 cos4r +....+
+ (2a), cos (2a—2)x + cos 2ax 3),
!) Detta theorem är, såsom man lätt inser, intet annat än ett af de väl-
bekanta Fourier’ska. Vi hafva dock ansett oss böra här genomgå beviset
för detsamma, dels emedan det vanligen icke framställes under denna form,
— alldenstund det ju egentligen afser functioners wtveckling i trigonome-
triska serier, — dels för att ådagalägga dess giltighet äfven i de fall, då
man har att göra med finita seriesummor.
2) Se t ex. Cauchy: Cours d’Analyse. Paris 1821, pag. 236, 237.
3) Vi förstå naturligtvis, som vanligt, med beteckuingen (2a), binomial-
2a(2a— 1)(2a—2).... (2a—n+1)
coöffcienten
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
