- Project Runeberg -  Euclidis Elementa /
44-45

(1844) Author: Euklides Translator: Per Reinhold Bråkenhielm
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Like | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Första Boken. XLV Proposition. Problem - Första Boken. XLVI Proposition. Problem

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

a. 42 prop.
b. 44 prop.

illustration placeholder

Bevis. Emedan vinkeln D=F,
och vinkeln GHK=F,
så måste D=GHK;
och således
D+GHD=GHK+GHD, 2 axiom,
men D+GHD=2:ne räta ............................ 29 prop.
derföre måste äfven GHK+GHD=2:ne räta .1 axiom.
Alltså äro DH och HK uti en rät linea 14 prop.
På samma sätt bevises, att DK och KL äro
uti en rät linea.

Vidare, emedan DH är parallel med EG, eftersom EH är
en parallelogram; så måste äfven hela DL vara
parallel med EG; och således
alternatvinkeln ......... EGH=GHL ................. 29 prop.
samt ........... EGH+HGM=GHL+HGM 2 axiom.
Men emedan GK är en parallelogram, måste GM
vara parallel med HK, och således måste de båda inre
vinklarna GHL+HGM=2:ne räta 29 prop
hvadan äfven ... EGH+HGM=2:ne räta 1 axiom.
och således äro EG och GM uti en rät linea 14 prop.

På samma sätt bevises, att EM och MN äro uti en
rät linea.

Nu äro ED, GH, MK, NL parallela
och lika stora; ................................... 34 prop.
derföre måste äfven DL och EN vara
parallela ..................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 33 prop.
samt figuren EL en
parallelogram; h. s. b. ...................... 22 defin.

Sluteligen är
EH=A,
GK=B,
ML=C,
derföre måste EH+GK+ML=EL=A+B+C,
h. s. b. ............................................... 2 axiom.

Skulle den gifna rätliniga figuren hafva flera än
fem sidor, så erhölle man flera trianglar, med hvilka
man då borde förfara, som med trianglarna B och C.

XLVI Proposition. Problem.

Att på en gifven rät linea, AB, upprita en qvadrat.

illustration placeholder

Drag AC vinkelrät mot
AB, a, och gör AD=AB, b; drag DE
parallel med AB, och BE parallel med AD, c; så
blifver AE en qvadrat.

Bevis. Figuren AE är, genom constructionen, en
parallelogram, d; derföre måste AD=BE, och AB=DE,
e; och alltså alla fyra sidorna AB, BE, ED, DA lika stora. f.

a. 11 prop.
b. 3 prop.
c. 31 prop.
d. 22 defin.
f. 1 axiom.
g. 29 prop.
h. 25 defin.

Vidare, emedan AD och BE äro
parallela, och således vinklarne A+B=2:ne räta, g,
samt A är en rät vinkel; så måste äfven B vara en rät vinkel.
Derföre måste äfven D och E, som stå
emot dem, vara räta vinklar, e. Enär alltså
parallelogrammen AE är både liksidig och rätvinklig;
så är han en qvadrat, h; h. s. b.

Corollar. 1. Häraf följer, att hvar och en qvadrat
är parallelogram.


Corollar. 2. Om en vinkel uti en parallelogram är rät,
så äro de öfriga tre äfven räta.


<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Fri Nov 20 21:51:52 2020 (aronsson) (diff) (history) (download) << Previous Next >>
http://runeberg.org/elementa/0030.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free