- Project Runeberg -  Euclidis Elementa /
46-47

(1844) Author: Euklides Translator: Per Reinhold Bråkenhielm
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Like | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Första Boken. XLVII Proposition. Theorem - Första Boken. XLVIII Proposition. Theorem

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

XLVII Proposition. Theorem.

Uti rätvinkliga trianglar är qvadraten på den sidan,
som står emot den räta vinkeln, lika stor med de
båda qvadraterna tillsammantagna, som uppritas på de
sidorna, som omfatta den räta vinkeln.


illustration placeholder

Låt ABC vara en triangel, och låt BAC vara en rät
vinkel, samt låt qvadraterna BE, AM och AF vara
uppritade, a, så skall det bevisas, att BE = AM + AF.

Drag räta lineerna BM, AE, AD och CF, samt AK
parallel med BD. b.

Bevis. Vinkeln BAC är en rät vinkel,
enligt hypothesen, och GAB är äfven
en rät, c; derföre måste BAC + GAB
= 2:ne räta; och således GA och AC
uti en rät linea, d.

Vinkeln FBA = DBC; emedan båda
äro räta, e; lägger man således
ABC till på båda ställen; så blifver
FBC= ABD. f.

a. 46 prop.
b. 31 prop.
c. 25 defin.
d. 14 prop.
e. 11 axiom.
f. 2 axiom.
g. 4 prop.
h. 41 prop.
i. 6 axiom.

Uti de båda trianglarna FBC och ABD, är således FB =
BA, BC = BD, och mellanliggande vinkeln FBC = ABD;
derföre måste triangeln FBC = ABD, g.

Men nu är qvadraten AF dubbelt så stor, som triangeln
FBC, efter de stå på samma bas FB,
och imellan samma parallela lineer FB och GC; och
parallelogrammen BK är dubbelt så stor som triangeln
ABD, h.; derföre måste
AF = BK .... i.
På samma sätt bevises, att qvadraten
AM = parallelogr. LE;
Alltså måste hela qvadraten BE = AM 4 AF, f, h. s. b.

Theorem.

illustration placeholder

De qvadrater, som hafva lika stora sidor, äro lika
stora. Låt AB = CD; så skall det bevisas, att qvadraten AE
= CF.


Bevis. <i>Emedan AB = CD, så måste alla sidorna, uti den
ena qvadraten, vara lika stora med hvar sin sida uti
den andra; och då dessutom alla vinklarne uti den ena,
äro lika stora med hvar sin vinkel uti den andra,
emedan de äro räta: så måste båda qvadraterna till
alla delar träffa in på hvarandra, om den ena lägges
på den andra, och således vara lika stora. h. s. b.

Theorem.

De qvadrater, som äro lika stora, hafva lika stora
sidor.


illustration placeholder


Om qvadraten CB = DH; så skall det bevisas, att AB
= DE.



<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Sun Jul 3 20:04:18 2016 (aronsson) (diff) (history) (download) << Previous Next >>
http://runeberg.org/elementa/0031.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free