Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Tolfte Boken. IX Proposition. Theorem
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Tolfte Boken.
Tolfte Boken.
303
Proposition* Theorem*
of en sphcer , hvars radie är II,
lor
med – .R3.
ö
Bevis. Om man f öreställer sig, att en polyeder
är om skrifven omkring sphaeren, så att cirkeln
GHMK. föreställer sphaeren, och månghörningen
ABCDE föreställer den omskrifna po-lyetlren, hvars
begränsande plan AB.BC . . . tangera sphaeren uti
punkterna G, H . . .; så utgöres denna polve.dev af
lika många pyramider, som polye-drc;n har gräns plan,
och alla dessa pyramider hafva F till gemensam spets,
samt lika stora höjder med sphaerens radie F.G. Om man
derföre med A betecknar polyedrens hela convexa yta,
och med K hans rymd; så måste
Låter man a vara sphaerens yta , a skillnaden
imellan sphaerens och polyederns convexa ytor, k
vara sphaerens rymd, och k’ skillnaden
imellan sphaerens och polyedrens rymder; så är
A == a4 a , K = k + k ,
i PII i . i ’ B. (a 4- a’),
och således . k -f- k = - -; - ~
eller
. B .a B.a’ , f
\r – J,. __ __ \l
k –-.«. 3 K.
Storheterna a’, k’ blifva mindre eller större,
allteftersom polyedren är mer eller mindre
mång-kantig; hvaremot storheten k, d. v. s. rymden
af en gifven sphaer, omöjligen derigenom kan lida
någon förändring. Alltså kunna a’ och k’ uti denna
eqvation omöjligen under annat vilkor ingå, än att,
för alla möjliga omkring sphaeren omskrifna polyedrar,
R.a
- k’ = o;
hvilket gifver k ±= -^-.
Men emedan vi uti nästföreg. propo*. bevist, att a =
4;iR2; så måste
k –».H»; h. s. b.
o
C oroll. 1. Rymden af en sphcer hit Sector, CLANP,
uti hvilken talotltns höjd AK~ h, är lika stor med
’"P ’\
^
Ty likasom man uli föreg. propos, bevist, att hela
sphaerens rymd är lika stor med hela sphaerens yta,
multiplicerad ined en tredjedel af sphaerens radie;
kan man bevisa, att sectorns rymd är lika stor ined
den delen af sphaerens yta, som calotten LAN utgör,
multiplicerad med en tredjedel af sphaerens radie. Men
denna yta är 2/rR.h. (prop. 8. Cor. 2.), hvarföre
sectorns rymd måste vara
TB i
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
