Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK
= ux + u2 + • • • +un för n:te delsumman.
Om denna har ett ändligt gränsvärde S,
då n går mot oändligheten, säges serien
vara konvergent med summan 5. Är gräns*
värdet oändligt, säges serien vara diver*
gent. Om Sn oscillerar mellan olika vär*
den, kallas serien oscillerande.
Ex.: Den oändliga geometriska serien
a + aq + aq2 + ...+ aqn +,.. konvergerar,
om |q|<l och divergerar, om |q|>l. I l:a
a
fallet är dess summa
1—qn
1 -q
1 -q
gäller att qn — 0 då n
ty i
Ex.: Den harmoniska serien
-f- • • • "1""" + • • • divergerar. Sn växer i själ*
va verket lika fort som log n.
Nödvändigt konvergensvillkor. I en kon*
vergent serie u1 + u3+ ... +un ... måste
lim un = 0. Detta villkor är ej tillräckligt.
n — co
(Den harmoniska serien är divergent,
ehuru termerna gå mot 0.)
med positiva termer. En ofta användbar
jämförelseserie är ^ ■ • • Denna
är konvergent, om s>l, (ty 1 +
, 1 > i . 2 , 4 . 8 .
+-—H ... < H––––-r • • • som ar en
4S 2S 4S 8S
konvergent geometrisk serie), och diver*
gent, om s^l (harmonisk serie, om s=l).
c) En serie är absolut konvergent, om
serien av termernas absoluta belopp är
konvergent.
(I en serie kunna termernas ordning änd*
ras godtyckligt utan att seriens summa
ändras endast om serien är absolut kon*
vergent.)
Potensserier. En serie av formen ao +
a^i-+ a2x2 + a3x3+ ... +anxn+ ... kallas po*
tensserie. Den konvergerar, då |x|<r, där
r är ett positivt tal (seriens
konvergensradie). Det område, där |x|<r, har näm*
ligen formen av en cirkel med radien r
i det Gausska komplexa talplanet (s. 65).
Är x reellt, utgöres området av intervallet
—r<x<r.
Tillräckliga konvergensvillkor
a) En alternerande serie (dvs. en serie med
omväxlande positiva och negativa termer)
är konvergent, om termerna äro monotont
avtagande dvs. "n = "n+i = «n+2 och
lim un—0.
n — co
Ex.: Serien ,4+1-1+1-1+...
är konvergent.
b) En serie är konvergent, om från en
viss term dess termer ha absoluta belöp*
pen mindre än, termerna i en konvergent
serie med positiva termer. (Majorantprin*
cipen).
Likaså är en serie med positiva termer
divergent, om dess termer äro större än
motsvarande termer i känd divergent serie
r fås ur följande gränsvärde:
r=lim
*n+l
= lim
n — oo
1
n .-
/Kl
om dessa existera.
Ex.: Serien l+x + y + y+^-+.
xn
H–––––b ■ • • har konvergensradien 1,
ty lim -= 1
n — co n
+
Ex.: Serien +
... konvergerar för alla x, ty lim ^
n—oo n •
= lim(n+l) = °°-
78
INGENJÖRSHANDBOKEN I
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
