Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TRE FOREDRAG OVER GEOMETRIENS GRUNDLAG. 39
et Liniestykkes Forlængelse er eentydig, ser jeg ikke. Men
selve denne Paastand, at et Bevis for Cirklens Halvering ved
en Diameter kræver Eentydigheden af Liniestykkets
Forlængelse, er ikke rigtig. I den Geometri, vi senere skal
omtale, og hvor Punktet defineres ved 2 Koordinater af Formen
a + eÆ, hvor a og b er reelle Tal, e2 = o, og hvor ret Linie,
Afstand o. s. v. defineres analytisk som i den sædvanlige
analytiske Geometri, gælder det, at Cirklen halveres af enhver
Diameter, derimod gælder det ikke, at ethvert Liniestykke
har en eentydig Forlængelse.
Sagen er i Virkeligheden den, at Proklos’ Bevis ikke har
nogen anden Mangel end den, som ovenfor er udbedret ved
Tilføjelsen af, at det Eudox’ske Postulat maa anvendes for at
Beviset kan blive helt gennemført.
21. Heath anfører overfor Proklos’ Bevis et Bevis af
Sacckeri, som betegnes »very interesting as showing the
thoroughness of his method, if not at the end entirely
convincing.« Saccheris Bevis findes i hans berømte: Euclides
ab omni naevo vindicatus, og er gengivet i forkortet Form paa
det anførte Sted af Heath, fuldstændigt i Engel-Stäckel, Die
Theorie der Parallellinien, Leipzig 1895, S. 111-118. Jeg
skal ikke her gaa nærmere ind paa dette meget vidtsvævende
og ikke helt klare Bevis, hvis Kærnepunkt det ikke er let at
faa fåt paa; men jeg skal nøjes med at meddele mit eget
Indtryk af Beviset:
Saccheri bygger sit Bevis )) paa den Forudsætning, at
naar en plan Figur skal flyttes i sin Plan saaledes, at et
Liniestykke forbliver liggende fast (idet dets Endepunkter
ligger fast), da er Flytningen kun mulig paa een Maade;,
2) paa den Egenskab ved den rette Linie, at den er »ens paa
begge Sider«, uden at det dog træder klart frem, hvad der
egentlig menes hermed. Herom kan det for det første siges,
at der ikke er noget overraskende i, at man paa dette
Grundlag kan vise Forlængelsens Eentydighed, men for det andet,,
at en klar Formulering og anskuelig Reduktion og Revision
af det i de nævnte Forudsætninger indeholdte Materiale ikke
kan føre til synderligt andet end netop Proklos’ Bevis.
Naturligvis ,kan Proklos’ Bevis, om man vil, ved Indførelse
af passende Kontinuitetsbetragtninger i Stedet for
Størrelses-aksiomernes Anvendelse paa en saa »kompliceret« Figur som,
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
