Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 12. 25 mars 1944 - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
340
TEKNISK TIDSKRIFT
Problemhörnan
Problem 2/44 var följande:
"Bestäm sidan av en kvadrat då man känner avstånden
från en punkt i planet till tre av kvadratens hörn. Ex.
a .= 5, b i= 6, c = 8."
Grafisk lösning:
Fig. 1.
Upprita en rät vinkel. Avsätt sträckan b från O utefter
vartdera vinkelbenet och tag de så bestämda punkterna
A och B till medelpunkter för cirklar med radierna a
respektive c. Dessa cirklar skära varandra i punkterna x
och y. Då utgör sträckan O X den sökta kvadratsidan. —
Bevis: komplettera kvadraten med sidan O Z. Som lätt
inses äro trianglarna OAX och OBZ kongruenta, varför
B Z blir lika med a.
Sträckan O Y utgör en andra lösning, vars riktighet kan
visas på liknande sätt. I den första lösningen ligger den
givna punkten inuti kvadraten, i den senare utanför
densamma. — Uppenbarligen kan man med samma
berättigande från O avsätta a respektive c. Härigenom skulle
problemet i det allmänna fallet ha 3 par lösningar. För
att 6 lösningar skola erhållas, fordras tydligen att V2 gånger
var och en av de givna sträckorna skall vara mindre än
summan av, respektive större än skillnaden mellan de
båda återstående. I det givna exemplet erhållas endast
4 lösningar eftersom 8 \j 2 > 5 + 6.
På ovanstående sätt har uppgiften behandlats av
civilingenjörerna S Sundén, B G Sjölin samt av signaturen
L Hg. Signaturen ög finner problemet vara en god
tillämpning på kapitlet Vridning i Hellgrens "Plangeometriska
problem".
Analytisk lösning:
Fig. 2.
Enligt figuren erhålles med tillhjälp av cosinusteoremet
a2 5= x2 -f b2 — 2 bx eos oc
c2 c= z2 + b2 — 2 bx sin a
varigenom efter elimination av oc
x2 = q2+c2 ± I v’(a2 + c2† - 2 (a2 —tff — 2 (c2 — tff
Det visar sig, att -{-tecknet motsvarar det fall att den
givna punkten ligger inuti kvadraten och -—tecknet att
punkten ligger utanför. Genom permutering mellan a, b
och c erhållas på detta sätt 6 skilda lösningar. Vid
insättning av de givna värdena visar det sig dock liksom
förut att endast 4 reella lösningar erhållas, nämligen 9,538;
3,004 samt 9,143; 2,327.
På detta eller liknande sätt har uppgiften behandlats av
ett stort antal problemlösare, diplomingenjörerna Halfdan
Nilsson, Ernst Sundström (Finland), ingenjörerna Hans
Gustafsson, Ivar Eriksson, civilingenjörerna S Brahme,
Bo Kihlgren, Uno Olsson, S Lundqvist, M Tigerschiöld,
Kurt Victorin, Ivar Weibull, T Ygge, teknologerna Lennart
Johansson, Gunnar Grahn, dr Allan Dahlén, signaturerna
H—11, N O J, F W B och Gari Alfred. Den sistnämnde
presenterar även en grafisk lösning, som baserar sig på
harmonisk delning.
Dr John Tandberg har undersökt huruvida det finnes
heltalsvärden på a, b och c, som ge heltalsvärden på den
sökta kvadratsidan. Det visar sig härvid att det existerar
oändligt många dylika heltalskombinationer, av vilka de
enklaste äro
a b c X
4 5 7 3
12 13 17 5
15 17 23 8
21 29 41 20
24 25 31 7
40 41 49 9
Efterskrift till problem 10/43. Signaturen N O J har
insänt följande:
Man observerar att t1 + y2 + xy = x2 + y2—2 xy eos (120°),
etc. Enligt cosinusteoremet kunna alltså x, y och z
uppfattas som avstånden från hörnen av en triangel med
sidorna a, b, c till en punkt O, där varje triangelsida synes
under 120° vinkel. Problemet kan alltså lösas grafiskt
enligt figuren.
Fig. 3.
Numeriskt kan härefter x + y + z enkelt beräknas på
följande sätt:
Ytan av triangeln A B C är
~ (xy + yz + xz) sin 120° = \]p (p — o) \p — b] [p — c)
där 2p = a-\-b-\-c enligt Herons formel.
V xy + yz + xz = –- Vp (p — a)(p — b)(p — c) (4)
V 3
Multiplicera originalekvationen (3) med (4) och addera med
(1), (2) och (3) så erhålles
2 (x2 + y2 + z2) + 4 (xy + yz + xz) = 2 (x + y + z)2 =
= o2 + b’ + c2 + V 3 \rp(p — a) (p — b) (p— c)
och alltså
1 - -
X + y + Z = ’^2 VW&2+c2+ v/3 sjp (p _ a) (p_ h) (P_C)
Problem 4/44 Bevisa att uttrycket hP — n, där n är ett
helt tal och p ett primtal, är jämnt delbart med p. A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
