Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 41. 8 november 1947 - Approximativ integration, av Emil Palmblad
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
22 november 1947
845
Approximativ integration
Dr-ingenjör Emil Palmblad, Skullorp
I ingenjörspraktiken förekommer ofta
beräkning av integraler, såsom ytor, rymder, statiska
moment, tröghetsmoment, arbetsdiagram m.m.
Det inträffar icke sällan att föremålet för
beräkningen föreligger antingen i en för matematisk
behandling otillgänglig form eller framställes av
en kurva, som går genom vissa punkter, men
för övrigt är ritad efter ögonmått utan
matematisk definition. Så är t.ex. fallet med de linjer,
som bestämma ett fartygs geometriska form
(vattenlinjer, spant etc.). Det kan även inträffa,
att beräkningen av en given funktion visserligen
är teoretiskt möjlig, men att härför fordras
hjälpmedel, över vilka den i praktiken stående
ingenjören i allmänhet icke förfogar. I sådana
fall är man hänvisad till approximativa metoder,
med vilkas tillhjälp man är i stånd att beräkna
ifrågavarande integral med en för praktiska
ändamål tillräcklig noggrannhet.
Betraktar man närmare sådana, i praktiken
utförda beräkningar, så finner man ofta ett
missförhållande mellan kravet på noggrannhet å ena
och räknearbete å andra sidan. Även ingenjörens
arbete bör rationaliseras. Hans beräkningar
måste givetvis göras med den grad av
noggrannhet, som uppgiften fordrar, men utan att dyrbar
tid och onödigt arbete slösas på en långt över
behovet driven precision. Det synes därför vara
lämpligt att kortfattat redogöra för de viktigaste
metoderna för approximativ beräkning av
integraler och den noggrannhet, som därmed vinnes.
Integralen som skall beräknas må vara bestämd
av en entydig, kontinuerlig kurva, y = f(x), och
uttryckt genom symbolen
/
J = ff(x)dx
Man tänker sig (fig. 1) grundlinjen l delad i ett
större antal delar Al och integralen representerad
av en yta, varav ett element AA begränsas av
or-dinatorna vid ändpunkterna av Al, Al själv och
den däröver liggande delen av kurvan f[x). Låter
man Al avta mot noll, så blir antalet delar
oändligt stort och summan av alla AA konvergerar
mot den sökta integralen som gränsvärde.
I praktiken kan man givetvis icke dela
grundlinjen i ett oändligt antal delar och summera
alla ytelementen utan måste nöja sig med ett
ändligt antal med tillhörande ordinator genom
517.392
delningspunkterna, som bestämmes efter ett visst
system eller formler, varav de viktigaste och
mest bekanta äro de som följer.
Rektangelformeln
Varje del av ytan A anses som rektangel och
summan av alla AA representerar då den sökta
integralen. Denna metod användes endast i
speciella fall, emedan den i allmänhet ger
otillräckligt noggranna värden.
Trapetsformeln
Kurvan mellan två ordinator anses vara en rät
linje. Varje del AA är då en trapets. Äro alla n
delarna Al lika stora, lyder uttrycket för
summan (fig. 2)
Även trapetsformeln användes sällan emedan
den, liksom rektangelformeln, anses lämna
mindre noggrant resultat. Vi skola i det följande se,
att om den förses med en korrigering, som är lätt
att anbringa, ger den värden, som med hänsyn
till noggrannhet tillfredsställa höga anspråk.
Som omedelbart inses vid betraktande av fig. 2
ger formeln ett för lågt värde på ytan om kurvan
är konvex uppåt och för högt i motsatt fall. Felet
kan uppskattas om man antar att kurvan mellan
två ordinator {/,• och y/ + i är en
andragradspara-bel. Det kan nämligen lätt visas (fig. 3), att den
streckade ytan i fig. 2 då blir
— (tgcxi — tga;+i)
som alltså skall adderas till trapetsytan.
Summeras nu alla dessa korrigeringar, så falla samtliga
tg oc från 1 till n—1 ut och endast tgoc0 och
tg ocn bli kvar. Den med restterm kompletterade
Fig. 1. Integration i
allmänhet.
Fig. 2. Integration enligt
trapetsmetoden.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
