Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 26. 25 juni 1949 - Spänningsfördelningen i rotationssymmetrisk platta med jämnt fördelad belastning, av Erik Nilsson
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
// juni 1949
485
Spänningsfördelningen
i rotationssymmetrisk platta
med jämnt fördelad
belastning
Civilingenjör Erik Nilsson, Linköping
’~»«S3 539.4.014.11
För lösandet av de rotatiotissymmetriska
hållfasthets-problem, som den praktiskt verksamme
beräkningsingenjören ibland ställes inför, finnes i många fall både smidiga
och noggranna, beprövade metoder att tillgå. Så är
exempelvis fallet vid problemet att beräkna
spänningsfördelningen i en roterande skiva med rotationssymmetrisk men
i övrigt godtycklig tjockleksfördelning. I detta fall
användes ofta någon av de av M Donath1 eller R Grammel2
angivna metoderna, vilka bygga på en uppdelning av
skivan i ringformiga element med konstant tjocklek, eller
Keller—Salzmanns3 förfarande, som likaledes arbetar med
ringformiga element men med linjärt föränderlig
tjocklek. Trots att man vid det sistnämnda förfarandet vanligen
kan nöja sig med en uppdelning i ett mindre antal element
än vid de båda förra och likväl erhålla samma
noggrannhet, torde Grammels metod ha fått den största
populariteten.
Vid andra problemställningar har man emellertid ofta
inga dylika populära och lätthanterliga direkta metoder att
begagna sig av. Ett sådant belastningsfall är det som här
något skall behandlas, nämligen en cirkulär platta med
rotationssymmetrisk, men eljest godtyckligt varierande
tjockleksfördelning, påverkad av en jämnt fördelad
belastning i en riktning parallell med plattans symmetriaxel
samt med reaktionsstorheterna jämnt fördelade längs
periferin. Plattans nedböjning förutsättes vidare vara liten
i förhållande till tjockleken. Mellan detta belastningsfall
och det som ovan berörts, den roterande skivan, råder i
ekvationshänseende en formell analogi, som bl.a.
påpekats av L Föppl4. Nära till hands ligger då att söka bygga
upp ett förfarande för beräkning av plattan på ett sätt
som är analogt med någon av ovannämnda metoder för
beräkning av skivan. I det följande skall ett försök göras
att härleda en dylik metod, byggd på samma princip som
Grammels förfarande, vilket tillvägagångssätt även
principiellt föreslagits av S Timoshenko5.
Momentekvationerna
Plattan antas i obelastat tillstånd vara symmetrisk med
avseende på ett plan som är vinkelrätt mot
symmetri-axeln och som således i detta tillstånd sammanfaller med
plattans medelyta. Av den belastade plattan utskäres ett
element, begränsat av två cylindriska ytor med radierna r
och r + dr samt två radiella plan, bildande vinkeln <fy med
varandra, se fig. 1. Definieras de uppträdande
snittstorheterna per ytenhet, blir villkoret för momentjämvikt för
det utskurna elementet
Mr ■ t ■ r ■ dip — yMr + rfr) (r + dr) (< + ^dr) d y> +
+ T ■ t ■ r • dip ■ dr + 2 Mt ■ t ■ dr ■ = 0 (1)
eller efter försummande av differentiella storheter av andra
graden
Tvärkraften T bestämmes genom projektion i axiell
riktning av krafterna på en cirkulär del av plattan med
radien r
2n ■ r ■ t ■ T — p ■ n ■ r* =- 0
eller
T =
p ■ r
2 t
(3;
(4)
där /i är den jämnt fördelade belastningens intensitet.
Betecknar <p lutningsvinkeln i ett radialsnitt hos den
belastade plattans medelyta i förhållande till symmetriplanet
i det obelastade fallet, gäller sambanden5
(2+’fr
(5)
(6)
(7)
där ü betecknar plattans böjstyvhet
12(l-i")
och E elasticitetsmodulen och v Poissons konstant.
Efter insättning av ekv. (5) och (6) i (2) erhålles
följande differentialekvation för <p
d><p II d(log/)\ d<p (V d(log0 1 \ T
dr2 \r dr / dr \r dr ~ r*I D W
eller efter omskrivning och insättning av ekv. (4)
\rl dr \ dr rl 2 D K ’
d*(p d
dr1 + dr ’
För en platta med konstant tjocklek förenklas (9) till
d’l<p
d*<p d /<p\ = p ■
dr- dr \ r) 2 •
som direkt kan integreras till
d<P V = pr2
dr r 4 D
(10)
(11)
där a är en integrationskonstant. Efter multiplikation med
r och ytterligare en integration erhålles
pr* ar2
<p - r= „ + + b
r 16 • D 2
(12)
Här betecknar b en ny integrationskonstant. Ur ekv. (12)
fås omedelbart
och
pr3 ar b
<P = —–1–-1–
v 16 D 2 T r
d<p _ 3 pr2 a b
HT ~ 16 • D + 2 ~ r2
(13)
(14)
p-r-drdf A(r-dT)(t*dt)(r.dr)dV
r ■ t) — Mt ■ t + T ■ t ■ r
(2)
Fig. 1. Krafter och moment pä ett utskuret element av
plattan.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
