Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
58
På analogt sätt upplösas motsvarande problemer rörande
hexaedern, oktaedern, dodekaedern och ikosaedern.
6. Den minsta polyeder med gifvet antal sidoytor, som kan
omskrifvas omkring en ellipsoid, är sä beskaffad, att alla dess
si-doytor beröras af ellipsoiden i deras respektiva tyngdpunkter.
Ett enkelt resonnemang öfvertygar om nödvändigheten
af det i propositionen uttalade vilkoret. Ty om
tyngdpunkten af en sidoyta faller utom tangeringspunkten och man
låter ytan vrida sig oändligt litet omkring en genom
tyngdpunkten i densamma dragen rät linie, så inses af Guldins
teorem, att polyederns volym derigenom ej förändras, ehuru
sidoytan i sitt nya läge faller utom ellipsoiden. Om denna
yta sedan parallelt med sig sjelf närmas till ellipsoiden, till
dess beröringen blifver återställd, så erhålles en ny
omskrifven polyeder, som är mindre än den gifna, hvilken således
ej kan vara ett minimum.
För öfrigt inses lätt, att det sednast anförda teoremet i
allmänhet gäller om polyedrar, som äro omskrifna omkring en
konvex och sluten yta, huru beskaffad den må vara i öfrigt.
Genom ömvändning af de hittills bevista satserna kunna
nya resultater ytterligare härledas. I sådant afseende
framställas här ännu några problemer.
7. Alt finna den minsta ellips, som kan omskrifvas
omkring en gifven triangel.
Förhållandet emellan ellipsens och triangelns ytor bör
vara ett minimum, och detta inträffar, om triangeln å sin
sida är en af de största, som i ellipsen kunna inskrifvas,
e-medan nämnda förhållande då uppnår sitt absoluta
gränsvär-<ilt
de, som är Sistnämnde vilkor kan alltid realiseras. I
sjelfva verket kan den gifna triangeln betraktas såsom
projektion af en viss liksidig triangel och den sökta ellipsen utgör
då projektionen af en omkring denna triangel omskrifven cirkel.
Häraf framgår, enligt n:o 1, att den gifna triangelns
tyngdpunkt bör utgöra medelpunkt till den sökta ellipsen och
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
