- Project Runeberg -  Ingenjörshandboken / 1. Allmänna delen /
71

(1947-1948) [MARC]
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

Ekvationslösning

där a>0, 0. Man bestämmer vinkeln
a mellan 0° och 90° så att

Vb

sin a —-

a

T

Då bli rötterna:

c 1=+Vb tgy; x2= +

V fe

a

tgy

2. /4<0. Rötterna komplexa.

Ekvationen har formen x2±ax + b =
= 0(a>0, b>0). Man bestämmer vinkeln
a mellan 0° och 180°, så att
a

- T

sa att eos o. — + -=

Vb

Då bli rötterna:

xt=Vb (eos a + i sin a) = \ b ea
x2 =Vb (eos a—i sin a) = V b e~M

Grafisk lösning. Se s. 73.

2. Ekvationer av 3:e graden

Förenkling av ekvationen z3 + az2 + bz + c~

= 0. Genom substitutionen z~x—y övers

går ekvationen till en enklare typ, där
2:a?gradsterm saknas:

x3 + px + q = 0

cib

Man får p = b——, —y + c.

Diskriminant. Uttrycket ^ = + (y
kallas ekvationens diskriminant.

b) ^<0. Det finns 3 reella rötter, som
bäst erhållas med den trigonometriska me?
toden.

c) A = 0. Då finnas 3 reella rötter, varav
2 äro lika, medan den 3:e är dubbelt så
stor och av motsatt tecken.

Algebraisk lösning (Cardanis formler). Låt 1,

et och s2 vara de »3:e enhetsrötterna»,
dvs. lösningar till ekvationen x3 = l (s.65):

— 1+i VJ -1 -i VT

Hjälpkvantiteterna u och v bestämmas
sålunda:

u^-l+U

r-

VJ

Då bli 3:e?gradsekvationens rötter:

Ixx = u + v

x2 = s1u + s2v

x3 = s2u + elv

Då zl <0, äro Cardanis formler ej lämp?
liga, emedan rötterna fås i skenbart
komplex form, som man i allmänhet ej
kan förenkla, fastän de äro reella (casus
irreducibilis).

Ex.: Lös ekvationen x3 + 9x—26 = 0
J = 33 + 132 = 196>0
1 reell rot 2 komplexa rötter

u = Vl3+14 = V27 = 3
v=Vl3-14 = -VT=—1

xx = 3—1 = 2, xa = 3

-1+f V3 — l-i 13

= -1+2 f VJ, x3 = 3 •

l-i V3

a) A>0. Då finnas 1 reell och 2 kon? _V3

jugerat komplexa rötter. 2

=—1—2 il/3

ALLMÄNNA DELEN

71

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Sun Dec 10 11:04:10 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/inghb/1/0087.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free