Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Ekvationslösning
där a>0, 0. Man bestämmer vinkeln
a mellan 0° och 90° så att
Vb
sin a —-
a
T
Då bli rötterna:
c 1=+Vb tgy; x2= +
V fe
a
tgy
2. /4<0. Rötterna komplexa.
Ekvationen har formen x2±ax + b =
= 0(a>0, b>0). Man bestämmer vinkeln
a mellan 0° och 180°, så att
a
- T
sa att eos o. — + -=
Vb
Då bli rötterna:
xt=Vb (eos a + i sin a) = \ b ea
x2 =Vb (eos a—i sin a) = V b e~M
Grafisk lösning. Se s. 73.
2. Ekvationer av 3:e graden
Förenkling av ekvationen z3 + az2 + bz + c~
= 0. Genom substitutionen z~x—y övers
går ekvationen till en enklare typ, där
2:a?gradsterm saknas:
x3 + px + q = 0
cib
Man får p = b——, —y + c.
Diskriminant. Uttrycket ^ = + (y
kallas ekvationens diskriminant.
b) ^<0. Det finns 3 reella rötter, som
bäst erhållas med den trigonometriska me?
toden.
c) A = 0. Då finnas 3 reella rötter, varav
2 äro lika, medan den 3:e är dubbelt så
stor och av motsatt tecken.
Algebraisk lösning (Cardanis formler). Låt 1,
et och s2 vara de »3:e enhetsrötterna»,
dvs. lösningar till ekvationen x3 = l (s.65):
— 1+i VJ -1 -i VT
Hjälpkvantiteterna u och v bestämmas
sålunda:
u^-l+U
r-
VJ
Då bli 3:e?gradsekvationens rötter:
Ixx = u + v
x2 = s1u + s2v
x3 = s2u + elv
Då zl <0, äro Cardanis formler ej lämp?
liga, emedan rötterna fås i skenbart
komplex form, som man i allmänhet ej
kan förenkla, fastän de äro reella (casus
irreducibilis).
Ex.: Lös ekvationen x3 + 9x—26 = 0
J = 33 + 132 = 196>0
1 reell rot 2 komplexa rötter
u = Vl3+14 = V27 = 3
v=Vl3-14 = -VT=—1
xx = 3—1 = 2, xa = 3
-1+f V3 — l-i 13
= -1+2 f VJ, x3 = 3 •
l-i V3
a) A>0. Då finnas 1 reell och 2 kon? _V3
jugerat komplexa rötter. 2
=—1—2 il/3
ALLMÄNNA DELEN
71
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>