Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Differentialkalkyl
En funktion säges vara diskontinuerlig
av första slaget i punkten a, om (när
h>0) lim f(a + h) = A existerar och
h-0
lim f(a—h) = B existerar, men A±B.
h-o
(Om A = B, är f(x) kontinuerlig i a.)
Ex.: Se fig. 6/2.
Derivata. Om gränsvärdet
Kx+Ax)-f(x)
Ax
existerar säges /(x)
lim
zJx-0
vara deriverbar i punkten x. Gränsvär*
det betecknas med f’(x) och kallas deri*
vatan till f(x).
Derivatan har följande geometriska be?
tydelse:
f(x+Ax)-f(x)
Ax
är vinkelkoeffi*
cienten till sekanten genom punkterna x
och x + Ax till kurvan y = f(x). Då
0, övergår sekanten i tangenten i
punkten x, varför derivatan betyder vin?
kelkoefficienten för kurvans tangent. (Se
fig. 6/3.)
Differens och differential. Differensen till
f(x) för tillskottet Ax:
Af(x)=f(x + Ax)-f(x)
Differentialen till f(x) för tillskottet dx:
df(x) = f’(x)dx
Derivatan kan alltså skrivas:
dy
f(*) =
dx
y-Jo
Högre derivator. Om /’(x) i sin tur har
en derivata, kallas den 2:a?derivata och
dV
betecknas med /"(x) = . På samma sätt
dnv
definieras n:e derivatan in{x) — ~,— som
’ v J dxn
derivatan av (n—l):a derivatan.
n:e differentialen: dny—fn{x)dxn
Partiella derivator. För en funktion z =
= f(x, y,...) av flera variabler definieras
partiella derivatan av en variabel t. ex. x
som den derivata, man får, då alla variab?
lerna utom x betraktas som konstanter.
Den betecknas med
dx
4. Derivationsregler
Grafisk derivering. Se s. 161.
Derivator av elementära funktioner.
1. y—xn, y-rix"’1 (n ett tal vilket som
helst) y—a, y’ = 0; y=ax+b, y’=a;
1,1 ,/- , 1
2. y = ax, y’ = axIna; y—tx-, y’ = ex
3. y=
x, y =
1 J_
ln a x
y = ln x, y’ =
1
4. Vinkeln i fortsättningen mätt i bågmått.
y = sin x, y =cos x;
y - eos x, y = —sin x
y = tgx, y’ = 1 + tg2 x =
1
eos2 X’
y = cotx, y ——(l + cot2x) =
—1
sin2 x
Fig. 6/5. Tangent och sekant.
5. y = arcsin x, y’ =
y = arccos x; y’
1
Vi—x2’
— 1
v r^x2:
ALLMÄNNA DELEN
91
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
