Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Differentialekvationer
A*ekvationen blir:
A2 + a* + & = 0
a2—4è
Tre fall:
I. a2—4b>0 och äro reella och olika.
Lösningen blir:
(Aperiodiska fallet)
II. a2—4b = 0; ^ =
y=(C0+C1x)eÄJC
(Aperiodiska gränsfallet)
III. a2—4t<0; Äj och komplexa
y= C1e(p+’V)*+C2e(P-’<?)*=c’eP* sin (qx+c")
(Periodiska lösningen)
Linjära, fullständiga differentialekvationer
med konstanta koefficienter
a0y(n)+a1y(n-i)+a2y(n-2)+ ... +
+an-l y+an=^(x)
Man löser den homogena ekvationen och
skriver dess lösning:
y = Qyj + C2y2 + ... + C„yn.
Variation av konstanten. För att få lös*
ningen till den fullständiga ekvationen,
antar man, att C1( C2, ..Cn inte äro
konstanter utan funktioner av x och för*
söker bestämma dessa genom insättning.
Man finner lätt att y är en lösning, om
följande ekvationssystem är satisfierat:
Q’yi+C2’y2+ • • • + C’nyn =0
C1’y1’+C2’y2’+...+C>;=0
C1’y1"+C2’y2"+...+CX=0
C1’y1("-2)+C2’y2(n’2)+ .. • +C’nyM=0
Man löser härur C\, C’2, ..., C’n och
bestämmer Cu C2, ..., Cn genom inte*
grering.
Ex.: Lös differentialekvationen:
y"+y = sin x
A*ekvationen blir:
;.2+l = 0 X = ±i
Lösningen till den homogena ekvationen
kan skrivas:
y = Q sin x+C2 eos x
Variera Q och C2:
Ci sin x + C2’ eos x = 0
Ci eos x—C2 sin x = sin x
Ci’ = sin x eos x C2 = —sin2 x
r_ cos2x r _ sin2x x
w — rCi! C2— _ +c2
4
eos 2x
. . . . , sin 2x x .
fcj sin x+ —–-—+
y=
+c21 eos x— (y+ci Jsin x+
+ (c2—2~| cosx
Den fullständiga ekvationen löses enligt
det föregående genom att bestämma en
speciell lösning till den fullständiga ekva*
tionen (dvs. en lösning utan godtyckliga
konstanter) och sedan därtill addera all*
männa lösningen till den homogena ekva*
tionen.
Ett annat sätt att få en speciell lösning
till fullständiga ekvationen är att göra en
»ansats», dvs. sätta upp ett uttryck för
lösningen, där vissa obestämda element
ingå, och sedan bestämma dessa genom
insättning. Är högra membrum ett poly*
nom, göres ansatsen i form av ett poly*
nom av lämpligt gradtal. Då högra mem*
brum utgöres av en trigonometrisk summa,
göres ansatsen i form av en trigonoa
metrisk summa.
ALLMÄNNA DELEN
111
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
