Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK
Ex.: Lös ekvationen y" + 3y’ + 2y = x3—
—4x+l. Den allmänna lösningen till den
homogena ekvationen är: y = C1e"2x + C2e’x.
Antag, att en partikulär lösning till den
fullständiga ekvationen har formen y —
= ax3 + bx2 + cx+d. Sätt in denna funktion
i differentialekvationen och jämför de olika
x==potenserna. Då fås:
2a = 1
9a + 2b = 0
6a + 6fe + 2c = —4
2b + 3c+2d— 1
11 1 U 9 13 A 17
eller a=y, & = c=T,d—g
Partikulära lösningen blir:
1 3 9 ,, 13 17
Allmänna lösningen till fullständiga ekva*
tionen är alltså:
y=C1c-s* + C2e-*+y x3
9_ 13 _17
4 X+4X 8
3. System av differentialekvationer
Systemet
+ ^21^1 + ^22^2+ • • • +<*2ny„ = 0
dy,
dx
dyn
Här äro de sökta funktionerna yu y2,
..., yn och koefficienterna au ..., ann
funktioner av den oberoende variabeln x.
Detta system har många egenskaper ge*
mensamt med de linjära homogena dif=
ferentialekvationerna. Man får på samma
sätt lösningen till det fullständiga syste*
met [dvs. det system, som erhålles, då
i högra membrum i stället för 0 stå n
funktioner 9?i(x), <P2(x), • • ^(x)] genom
att till den allmänna lösningen till homo*
gena systemet addera en speciell lösning
till det fullständiga systemet. Man kan
också använda metoden med variation av
konstanterna (se s. 111).
System med konstanta koefficienter. (För
det enklare skrivsättets skull behandlas
här endast systemet med 3 obekanta funk*
tioner.)
Yi + a&i + a2y2+a3y3 = 0
y’ 2 + biyi + b2 y2+ b3y3 = 0
. y’3 + c1y1 + c2y2+c3y3 = 0
Man gör ansatsen y1=«1e^JC, y2 = «2e^*,
ys=«
Då fås följande villkor:
(at + A)ctt + a2a2+a3ct3 = 0
friai + O2 + + b3a3 = 0
Clat + c2a2 + (c3 + A)as = 0
För att detta skall ge svärdenmåste
determinanten
+ ^ a2 a3
bt b2 + l b3 =0
Q c2 c3 + A
Härur fås 3 Svärden, Xlt Å2t Till vart
och ett av dessa bestämmas de motsva?
rande a?värdena:
«ll. «1». "is; «21> «22> «23; «.l. "32. «33
Allmänna lösningen blir:
Yi=C^eV-+Ca«21eV+C8«81e;i3Jf
y2 = C^eV+C2«22eV + C3«33e V
y3 = QKi8e*i*+C2«28eV+C8«83eV
Här äro Ct,..., C3 godtyckliga konstanter.
Ex.: Lös systemet:
Yi— yi—2y2+y3=0
y2’+yi—2y2—y3 = 0
y3’—yi—3y2 + 2y3 = 0
112
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
