Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Analytisk plangeometri
punkten vara en inflexionspunkt. I en
inflexionspunkt skär tangenten genom
kurvan. I en inflexionspunkt ändrar 2:a
derivatan tecken, varvid kurvan övergår
från att vara konvex uppåt till att vara
konkav uppåt eller tvärtom. Se fig. 9/8.
Singulära punkter. Med en singulär punkt
till kurvan F(xj y) = 0 menas en punkt,
dF OF
där samtidigt F{x,y) = 0, -^-=0, —=0.
För att undersöka punktens karaktär, bil*
^ I d2F \2 d2F FF
dar man
Om D>0, är punkten en dubbelpunkt
med två olika tangenter, om D — O, sam»
manfalla tangenterna och punkten är en
spets för kurvan.
D<0 ger en isolerad punkt utan reella
tangenter.
Kurvuppritning. För att få fram de karak*
teristiska egenskaperna hos en kurva, bör
man undersöka följande:
1. Skärning med axlarna.
2. Symmetri och existens.
3. Asymptoter.
4. Maxima och minima (horisontella tan*
genter).
5. Vertikala tangenter.
6. Inflexionspunkter och singulära punkter.
Krökning. Den enklaste kurva, som har
krökning, är cirkeln. Inverterade värdet
av radien k = ~ji> användes som mått på
krökningen. För att undersöka krökningen
hos en kurva i en punkt, lägges en cirkel,
den s. k. krökningscirkeln genom punkten,
så att kurvan och punkten få en kontakt
av minst 2:a ordningen. Dess medelpunkt
kallas krökriingscentrum och dess radie R
krökningsradien. Krökningen är positiv,
om krökningens centrum ligger till vänster,
då man genomlöper kurvan i dess riktning
(med växande båglängd).
Rätvinkliga koordinater:
1 _ (l+y")’/a
R-J–7-
Koordinaterna (atß) för krökningscentrum:
ds ’ y
0 „ dx 1+y’2
Parameterform: x=x(t), y=y(.t)
r= 1
k x’y"—x"y’
Polära koordinater:
r=L=. (r2+r’2)3/a
k r2+2r"2-rr"
Evoluta och evolvent. Orten för en kurvas
krökningscentrum kallas för kurvans evo=
luta. Den erhålles genom elimination av
koordinaterna för den löpande punkten
på den ursprungliga kurvan i uttrycket
för krökningscentrums koordinater. Kur*
van själv kallas för evolvent till evolutan.
Cirkelevolvent se s. 127.
Envelopp. Ekvationen f(x, y,o)- 0 betyder
geometriskt en kurvskara. a är skarans
»parameter». Med envelopp till skaran
menas en kurva, som tangerar samtliga
kurvor i skaran.
Enveloppen erhålles genom elimination
av a ur ekvationerna f(x, y, a) = 0,
df(x, y,")=Q
da
Yt- och båglängdsberäkning, se s. 106.
4. Cirkeln
Ekvation. Har cirkeln medelpunkten (a, b)
och radien R, så lyder dess ekvation i rät*
vinkliga koordinater: (x—a)2+ (y—fe)2 = R2
Är medelpunkten i origo, blir alltså
ekvationen: x-+y2 = R2. Ligger origo där*
ALLMÄNNA DELEN
12 5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
