Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK
Om x betyder tiden och tt (x) represen*
terar en punkts läge, är t)’(x) punktens
hastighetsvektor riktad efter banans tan*
gent.
Är vektorn representerad av koordina*
terna för ändpunkten, fås vektorderivatan
genom att derivera varje koordinat for sig.
Vektorfält. Med vektorfält menas ett rum,
som i varje punkt är tillordnat en vektor
t). Med fältstyrkan i en punkt menas
längden av fältvektom B där, och fältets
riktning anges av vektorns -riktning.
Kraftlinjerna äro de kurvor i rummet,
som i varje punkt tangera fältvektorn. De
bestämmas av villkoret, att inre produkten
dt
är kraftlinjens vektor).
Om vektorn f :s ändpunkter ha koordina*
terna (x, y, z) och fältvektorn © kompo*
nenterna (VX,V ,VZ), är detta detsamma
som differentialekvationerna
dx _ dy __ dz
Ax Ay Az
Gradient: En funktion f(x, y, z) tilldelar
varje punkt i rummet ett tal, ger alltså ett
skalärt fält. Ytorna f(x, y, z) = konstant
kallas nivåytor för det skalära fältet. De*
riveras f(x, y, z) med avseende på x, y och
z, erhållas tre tal, som kunna uppfattas
som komponenterna av en vektor, gra=
dienten till f(x, y, z) (tecknas grad f):
grad f=
il, ü,
, dx ’ dy ’ dz
f säges vara potentialen till grad f
dV 3V,
div©=—,
dx dy
yJ>K [ skalär
+ dz \ storhet
rot
\ dy
dV
y
’ dz
dz
dx
ZVy
dx
»K
dy
Laplaceoperatorn:
f|f f|f
dx2 dy’1
divgrad f=Af
Af(x, y, (skalär storhet)
ff
dz2
Om v är en viss volym, innesluten inom
ytan 5 i vektorfältet och vektorn fi
i varje punkt på 5 är enhetsvektorn med
samma riktning som den yttre normalen
till 5, så gäller följande relation (Greens for*
mel (do är ytelement, dv volymelement):
///div B dv=ff®-fi-d<T
v s
Högra ledet kallas vektorflödet genom 5.
Om L är en sluten kurva och 5 en yta
genom denna gäller dessutom (Stokes
formel):
//(rot ®)fi-d<t=f®-dl
s l
Kurvintegralen i högra ledet kallas fältets
cirkulation längs L.
4. Komplexa vektorer (vektorer i
planet)
Emedan de komplexa talen kunna fram*
ställas geometriskt som punkter i Gausska
talplanet (s. 65), kan de anses som två*
dimensionella vektorer med begynnelse*
punkt i origo och ändpunkter i de ifråga*
varande punkterna. De vanliga räkneope*
rationerna med komplexa tal kunna därför
anses som operationer med vektorer i
planet. I det komplexa talet $ = x + iy är x
vektorns reella komponent och y den
andra (rent imaginära) komponenten.
Vektorns absoluta belopp eller längd är
Betecknas med <p argumentet för 5. dvs.
vektorns vinkel med positiva reella axeln,
kan talet skrivas:
Z = x+iy= \t\eiCp.
2)0 = e,r^ är enhetsvektorn 5. Man har:
ni 3ni
e1’ °= 1, e" =i, em=-l,ez =-i, e
2ni_
1
Inre produkt
(5 ■ 5’)=**’+yy’= Id| • eos (55’)
Vektoriella produkten ligger ej i samma
plan som de bägge vektorerna, varför den
ej har intresse i detta sammanhang.
132
INGENJÖRS HANDBOKEN I
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
