Matematisk Tidsskrift / A. Aargang 1919 / 44 (1919-1922) Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

Afsættes den mindste Bue henad den største, vil han fra
Elementerne vide, at den største Korde er et mindre Antal
Gange den mindste end den største Bues Forhold til den
mindste. Det falder da naturligt for ham at tænke, at
Sætningen ogsaa maa gælde i andre Tilfælde og derefter søge et
Bevis for dens Gyldighed. Om han har gjort dette sidste,
véd vi ikke, men vi véd, at han bruger Sætningen i Tilfælde,
hvor den store Bue ikke er et helt Antal Gange den lille,
nemlig naar Buernes Forhold er 90 til 89.

Man maa formode, at disse tre Sætninger, der hænger saa
nøje sammen, har været kendt og brugt i den aleksandrinske
Skole, og at de ogsaa har været bevist, men hvorledes?

Fra senere Tider kender man Ptolemæus’ Bevis for
Sætning 3. Det synes, at han bygger paa Euclids Bevis for
Sætn. 2, som det fremgaar af Beviset i Almagest, han
benytter i alle Tilfælde samme Betragtningsmaade.
Beviset er følgende:

Fig. 2.

Buen bc er større end Buen ba. Vinklen mellem Korderne
ba og bc halveres ved Linien bed, Linierne da og dc
tegnes og ligeledes den vinkelrette df. Nu er
ce > ae, da > de > df. Endvidere er (som hos Euclid)
[triangle]aed > Sekt gde og [triangle]def< Sekt deh,
hvoraf [triangle]def: [triangle]dea < Sekt deh :
Sekt deg, altsaa fe : ca < [angle]fda : [angle]ade og (da 2 (ef + ea) : ea
= ca : ea) ca : ac < [angle]cda : [angle]ade, men ce : ae = bc : ab
(den vinkelhalverende) og [angle]cde : [angle]ade = [arc]bc : [arc]ab, altsaa cb : ba
< [arc]cb : [arc]ba. Indføres Vinklerne i Stedet for Buerne, faas
cb : ba < [angle]bac : [angle]bca.

Hvis Ptolemæus yderligere havde trukket Højden fra b,
havde han samtidig faaet bevist Sætn. 1, der i Virkeligheden
ikke er forskellig fra denne. Ptolemæus Bevis er bygget paa
saa simple, elementære og godt kendte Betragtninger, at der
ikke er Grund til at tro, at der tidligere har foreligget andre
selvstændige Beviser, saa hvis der har været ført et
almindeligt Bevis for Sætningen indenfor den aleksandrinske Skole,
har det rimeligvis været bygget paa de samme Betragtninger.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>